二本の無限長並行導体間の電界計算について教えて下さい。現在電験の勉強をしていますが、添付の式になる理

二本の無限長並行導体間の電界計算について教えて下さい。現在電験の勉強をしていますが、添付の式になる理由がわかりません。電荷qと電荷-qでは発生する電界の向きが異なるため足し算ではなく引き算にならないのでしょうか?

No.7 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/08 15:13

># x < d では (d-x)/|x-d|^2 = -1/(d-x) に注意

間違い
# x < d では (x-d)/|x-d|^2 = -1/(d-x) に注意

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。任意の位置ベクトルの式すら理解できていないので、ベクトルからやり直したほうがよいかもしれません。
ただ、記載いただいた式から各電界の値の引き算はになるかはxとdの値次第であると理解できました！

お礼日時：2024/07/08 22:51

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/08 09:45

>プラス電荷が作る電界E1とマイナス電荷が作る電界E2の

>合成電界EはE=E1+E2だと考え、片方の電荷がマイナスの
>場合は常にE1とE2の引き算になってしまうように思います。

なんかうまく伝わっていない気がします。

電界をベクトルで表せば
正電荷の導線の位置を r1=(x1, y1)
負電荷の導線の位置を r2=(x2, y2)
電場を観測する位置を r=(x, y)
とすると

正電荷の電場E1 = ρ(r-r1)/(2π|r-r1|^2)
負電荷の電場E2 = (-ρ)(r-r2)/(2π|r-r2|^2)

合成電場のベクトルは
E = E1 + E2 = ρ(r-r1)/(2π|r-r1|^2) + (-ρ)(r-r2)/(2π|r-r2|^2) ①
でこの式は 任意の位置ベクトル r, r1, r2 で成り立ちます。
ここで r, r1, r2 を x 軸上に限定し、
r1 = (0, 0)
r2 = (d, 0)
r = (x, 0) とすると
電場の x軸方向の成分は
Ex ＝ ρx/(2π|x|^2) + (-ρ)(x-d)/(2π|x-d|^2)　②

0 < x < d に限定すれば
Ex ＝ ρ/(2πx) - (-ρ)/(2π(d-x)) = ρ/(2πx) + ρ/(2π(d-x)) ③
が得られます。
# x < d では (d-x)/|x-d|^2 = -1/(d-x) に注意

②は任意の x で成り立ちます。③は 0 < x < d で場合分けした
バージョンであることに注意。

結局 大学でやる 任意の位置で成り立つベクトル版の①さえ覚えれば
悩まなくて済みます。

>今回は電界の向きについてのお話になりますが、
>クーロン力の問題だった場合

電場とは単位正電荷あたりのクーロン力です。
これを踏まえれば何も変わりません。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/05 10:39

>位置xが逆向きの方向になる　という表現に理解が追い付かず…

電場というのは電荷を中心に四方八方へ向かうわけですから
電荷とそれを測定する地点の相対位置関係で電場の向きは
変わります。

プラス電荷の上側の点では電場は上向きです。
プラス電荷の右側の点では電場は右向きです。
プラス電荷の左側の点では電場は左向きです。
プラス電荷の下側の点では電場は下向きです。
マイナス電荷の左側では電場は右向きです。

プラス電荷の右側の点とマイナス電荷の左側では
電場の向きは同じですよね（両方共右向き）。
なので位置 x では両電場の絶対値を
足さないといけないのです。

電荷の正負と、位置x との位置関係を考慮して
・位置xが電荷の右なら電荷と同符号
・位置xが電荷の左なら電荷と異符号
ρ/(2πrx) - (-ρ)/(2πr(d-x))
と書いた方がより分かりやすいかもしれないですね。

この回答へのお礼

ご丁寧に説明いただきありがとうございます。

>>電場というのは電荷を中心に四方八方へ>> 向かうわけですから
>>電荷とそれを測定する地点の相対位置関>>係で電場の向きは変わります。
>>プラス電荷の右側の点とマイナス電荷の>>左側では電場の向きは同じですよね（両方共右向き）。

ここまでは理解できました。
>>なので位置 x では両電場の絶対値を
>>・位置xが電荷の右なら電荷と同符号
>>・位置xが電荷の左なら電荷と異符号
>>ρ/(2πrx) - (-ρ)/(2πr(d-x))

この部分でわからないことが2点あります。
1.E=q/εsの公式より、電荷がマイナスの場合の電界はマイナスになると思います。プラス電荷が作る電界E1とマイナス電荷が作る電界E2の合成電界EはE=E1+E2だと考え、片方の電荷がマイナスの場合は常にE1とE2の引き算になってしまうように思います。式を立てる場合にはどのように書くのが適切なのでしょうか。

2.今回は電界の向きについてのお話になりますが、クーロン力の問題だった場合はそ
のままq,-qを用いて計算し、符号により反発と吸引の判別をすればよいのでしょうか。

お礼日時：2024/07/07 13:39

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/04 13:12

ならないよ。

位置xが2つの導線から見て逆向きの方向になる
ことを考慮しないといけない。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。理解不足ですみません。電気力線と距離を元に向きを求める際の注意点を記載いただいているのでしょうか。
位置xが逆向きの方向になる　という表現に理解が追い付かず…

お礼日時：2024/07/04 16:29

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/07/03 22:55

No.2 です。

＞x<0、x>d共に合成した電界は左向きになるのではないでしょうか？

いいえ。

x<0 のとき
　1/x < 0 ですから第1項は左向き
　1/(d - x) > 0 ですから第2項は右向き

d<x のとき
　1/x > 0 ですから第1項は右向き
　1/(d - x) < 0 ですから第2項は左向き
です。

つまり「式としては足し算」で、各々の項の「正負」が「右向き」か「左向き」かを決めます。
合成した結果が「正」になるか「負」になるかは、２つの項の「絶対値」の大小で決まります。

ちなみに 0<x<d のときには
　1/x > 0 ですから第1項は右向き
　1/(d - x) > 0 ですから第2項も右向き
です。

「式の形」（足し算か引き算か）ではなく、各項の「正か負か」で結果が決まるのです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
非常にわかりやすいご説明でした。自分なりの考えは電気力線が出る向きをイメージしつつ、電荷の位置からの距離で考えてしまいましたがそもそもアプローチが間違っていたのだと思います。

お礼日時：2024/07/03 23:18

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/07/03 20:53

「電荷 +q」からは「導線中心から外側（無限遠）に」、「電荷 -q」へは「外側（無限遠）から導線中心に」電界が存在するので

・導線の間では足し算
・導線の外側では引き算
になりますよ。

そこに書かれた式は「導線と導線の間」では 0<x<d なので「足し算」に見えますが、x<0 や d<x のときにはどうなると思いますか？

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！
x<0、x>d共に合成した電界は左向きになるのではないでしょうか？

お礼日時：2024/07/03 21:20

No.1 回答者： xs200 回答日時： 2024/07/03 20:04

電界の向きはどちらも右向きです

で引き算すると
関連するとこだけ書くと
1/x - (-1/(d-x))

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！
-pの電荷は引き込む方向に電界が生まれるので共に右方向ということですね！

お礼日時：2024/07/03 20:32