導体で同心の外球、内球があり内球が接地されています。

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質問者：kussetsu
質問日時：2009/02/07 01:25
回答数：1件

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3031710.html

ここの問題の条件で、内外球の静電容量を求めよという問題があります。今やっている問題とほぼ一致した条件なので引用させてもらいました。

僕自身、接地するということがいまいちどういうことなのか理解できていない感じなのですが、
引用した質問の電界の答えから、内外球の電位差を求めてC=Q/Vという定義から静電容量を求めたところ、答えと一致しました。

そこで疑問がわいたのですが、C=Q/Vの定義が使えるのは外球と内球にそれぞれ-Q、+Qの電荷を与えているときと教科書に書いてありました。

この問題だと、外球にQの電荷を与えているだけで、内球には-Q'の電荷が誘起されています。
なぜC=Q/Vの定義から答えが算出できたのでしょうか？

電磁気学の理解に乏しいので詳しく教えていただきたいです。

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No.1ベストアンサー

回答者： siegmund
回答日時：2009/02/11 11:05

「与えた」に余りこだわりすぎると

「孤立した半径 a の導体球の容量を求めよ」というような問題
(たいていのテキストに出ている)の解釈がうまく行かなくなります．

わかりやすい平行平板コンデンサーでいいますと，
「２つの極板にそれぞれ +Q，-Q の電荷を与えた」というのは，
もともと電荷がなかった状態を出発点にして電荷を Q だけ一方の極板からもう一方の極板に
移したと考えればよいでしょう．
そうすれば，一方の極板には +Q の電荷が，もう一方の極板には -Q の電荷が，
それぞれ存在することになります．

上の孤立球の問題も，無限遠から孤立球に電荷 Q を移したと考えればよろしい．
そうすると，孤立球に +Q の電荷があるわけで，無限遠との電位差 Q/4πε_0 a から
Q = CV にしたがって C = 4πε_0 a と容量が求まります．

さて，今の問題で内球を接地したというのは内球と無限遠を導線でつないだ，
つまり内球と無限遠との電位差を同じにしたことを意味します．
で，上の解釈に従えば，内球と無限遠から外球(正確には外球殻)へ電荷 Q を移すことになります．
外球殻には内側表面に電荷に +Q' ，外側表面に +Q'' が分布します．
記号は引用された
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3031710.html
に従っています．
内球には -Q'，無限遠には -Q'' があることになりますが，
Q' と Q'' の割合は２つの電位差，すなわち外球殻と内球の電位差，および外球殻と無限遠の電位差が
等しくなるように決まります．
内球と無限遠は導線で結ばれていますから電位は同じでないといけないのです．
もし，内球からのみ電荷を外球殻に移しても，
内球と無限遠は導線で結ばれていますから電荷は自由に行き来できるので，
上の条件に従うように勝手に電荷が移動します．
引用された inara さんのご回答はこうやって Q' と Q'' を決めています．

図で表すなら

　　　　　　　　　　│
　　　　　　┌───┴───┐
　　　　　　│　　　　　　　│
　　　　　　│　　　　　　　│
外球殻内側─┴─　　　　　─┴─外球殻外側
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　内球─┬─　　　　　─┬─無限遠
　　　　　　│　　　　　　　│
　　　　　　│　　　　　　　│
　　　　　　└───┬───┘
　　　　　　　　　　│

と思えばよいでしょう．
実際，求めた容量は２つのコンデンサーの容量を合成したものになっていますので，
それもご確認下さい．

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Aベストアンサー

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Aベストアンサー

eatern27 さん：
> 半径a,b,cの球殻が３つあるという事でいいですか？

半径 a の導体球(中まで詰まっている)と
内径 b ，外径 c の導体球殻という系のことでしょう．
すなわち，0<r<a の部分と b<r<c の部分が導体です．

> そして、r>vにおける電界を考えると、
> 内側の電位の合計「Q1+Q2」の点電荷が球の中心にあると考え
> E=(Q1+Q2)/(4πεr^2)[V/m]によって求めることができるのでしょうか。

そうはなりません．
球殻を接地したのですから球殻の電位はゼロ，
球殻と無限遠の間の電場はゼロのはずです．
つまり，問題の前半の答は計算するまでもなく明らかでした．

多少詳しく見てみます．
まず，導体内では電場はゼロですから
0<r<a と b<r<c では E=0 です．
内側の球に与えた電荷 Q1 は導体表面に均等に分布します．
したがって，a<r<b では Gauss の法則からわかりますように，
電場は E=Q/4πεr^2 です．
Q1 の電荷が中心にあるように見えます．

次に，外側の球殻に与えた電荷は導体表面に分布するのですが，
球殻内側と無限遠に分かれて分布します．
外側球殻を接地していますからこうなります．
もし設置していなければ，内側表面(r=b)と外側表面(r=c)に分かれて分布します．
さて，半径 r が b<r<c であるような球面に Gauss の法則を適用してみます．
導体内では電場がゼロですから当然電場の面積分もゼロです．
これが半径 r の球内の電荷総量の 1/ε に等しいというのが Gauss の法則ですから，
半径 r の球内の電荷総量はゼロです．
内側の球に Q1 だけ電荷が分布しているのですから，
球殻の内側表面(r=b)には -Q1 だけの電荷が分布していないといけません．
球殻には Q2 の電荷を与えたのですから，
Q2+Q1 だけどこかにないといけないわけで，
Q2+Q1 は接地した線を伝わって無限遠まで逃げていきます．
つまり，球殻外側表面(r=c)には電荷はありません．

今度は r>c の球面に Gauss の定理を適用します．
内部の電荷総量はゼロですから，電場もゼロです．
導体球殻と無限遠とは同電位ですから(接地！)，
その間で電場が存在しないのは当然です．
これは最初に述べました．

まとめますと，
0<r<a では E=0
a<r<b では E=Q/4πεr^2
b<r　　　　E=0
です．

----------------------

もし，外側の球殻を接地していなければ以下のようになります．
今度は導体球殻外側表面(r=c)に Q2+Q1 の電荷が均等に分布します
(つまり，接地していないので，これ以上遠くに逃げられない)．
r>c の球面に Gauss の定理を適用したときに，
内部の電荷総量は Q2 になりますから
0<r<a では E=0
a<r<b では E=Q1/4πεr^2
b<r<c　　　E=0
c<r　では E=Q2/4πεr^2

----------------------

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