電磁気学のRC回路を数値解析で

実験で、電磁気学のRC回路において
スイッチを入れた後コンデンサーの両端の電圧（V)を求めるのに

時間間隔を０,５msとして０,０msから５，０msまで
オイラー法とルンゲクッタ法で求めるのですが（表計算を使って）

RC回路の意味も分かってなくて

どのように求めたらいいのでしょうか？

RC回路が分からないと解けないのでしょうか？

No.11 回答者： ruto 回答日時： 2005/05/19 19:53

>Vc＝E－R・ｉを微分方程式すればいいのですか？

まだ理解できていないようですね。
R・di/dt＋1/C・i＝0---(1)
iにかんする、１階の微分方程式を近似的に解くのに
di/dt＝－i/(RC)の式から初期値がわかっているとし
その傾斜（di/dt）からiを求める方法です。
iの数値を求めてからVc＝E－RiにいれてVcを求めます。
　この場合の傾斜とは横方向にｔ、縦方向にiでｔを極小さくすれば小さいiが求められます。No１０をよく読んで内容を理解してください。

この回答への補足

オイラー法で電流を求めて、Vc＝E－Riにiを代入していけばオイラー法でVcの値がでますけど、オイラー法で求めたVcの値を真の値と比較しなければならないけど、真の値ってどうやって求めていくのでしょうか？

毎回質問ばかりで　すみません

補足日時：2005/05/19 21:46

No.10 回答者： ruto 回答日時： 2005/05/19 09:37

まず、微分方程式を次のようにたてます。

Ri＋1/C・∫idt＝E　
両辺をｔで微分します。
R・di/dt＋1/C・i＝0---(1)
　この微分方程式を直接解くのは簡単ですが、近似的に解くのがオイラー法とルンゲクッタ法です。
　オイラー法を説明すると(1)式を変形すると
di/dt＝－i/（RC）となる。
ｔ＝0の時ｉ＝Ｅ/Ｒなので
di/dt＝－E/（R^2・C）となる。これはt＝0における電流の変化分である。（初期条件でQ0＝0とする）
ｔ＝0の時はｉ＝E/R　次にｔ＝0.5msにおけるｉ1の値はi1＝ｉ－傾斜×t1
i1＝ｉ－Ｅ/（R^2・C)×0.5×10^-3
t2＝1msの　i2は
i2＝i1－E/（R^2・C）×0.5×10^-3
t=1.5msのi3は
i3＝i2－E/（R^2・C）×0.5×10^-3
という風に電流の変化率（傾斜）からΔiを求め前の値に加えて電流値お求める手法です。
コンデンサの電圧Vcは
Vc＝E－R・ｉで求められると思います。

ルンゲクッタ法は自分で勉強してください。　

この回答への補足

Vc＝E－R・ｉを微分方程式すればいいのですか？

補足日時：2005/05/19 17:50

No.9 回答者： foobar 回答日時： 2005/05/19 09:17

オイラー法やルンゲクッタ法って微分方程式の解を数値的に求める手法ですよね？

(課題としては、
・RC回路について、回路方程式(微分方程式)を立てて、二通りの方法で数値解を求める
・得られた数値解と、実験で求めた値、解析的に求めた式(解析解)を比較する
ことが求められているような)

ですので、
・コンデンサ両端電圧 Vc に関する微分方程式を立てる。
・この式を dVc/dt=.... (右辺にはd/dtの項が無いように)の形に変形する
・(Vcの初期値 Vc(0)=0 とおく)

と、あとは、オイラー法やルンゲクッタ法の計算法(お手持ちの教科書か演習書かに書かれているかと思います)をそのまま当てはめて、
Vc(0.5ms), Vc(1.0ms),Vc(1.5ms)の値を順番に計算して行くことになるかと。

この回答への補足

Vc＝E（１－ｅ＾（－ｔ/RC）をオイラー法とルンゲクッタホ法に代入すればいいのでしょうか？

また解析解はR = 1 kΩ，C = 1 μF，E = 1 Vとして
x(t) = 1- exp(-t)でいいのでしょうか？

微分方程式習ってなくて　本に乗ってることをコピーして書きました。すみません

あっているででしょうか？

補足日時：2005/05/19 17:44

No.8 回答者： foobar 回答日時： 2005/05/17 10:08

手順としては、

1. 回路方程式を建てて、コンデンサ両端電圧に関する微分方程式を導出する。
2. その微分方程式を、オイラ-法とルンゲクッタ法で数値的に解く
でしょうね。

もし、わたしが解くとしたら、
コンデンサに溜っている電荷qを使って、
(i=dq/dt, Vc=q/C, Vr=r i) 一旦qに関する微分方程式にして、
そこからコンデンサ電圧Vc に関する微分方程式を導出すると思います。

この回答へのお礼

Vc＝E（１－ｅ＾（－ｔ/RC）が真の値とわかったのですが、　オイラー法とかで求める時には、どうやって求めていけばいいのでしょうか？

お礼日時：2005/05/18 18:13

No.7 回答者： a987654 回答日時： 2005/05/16 22:49

ｎｏ１です。

rutoさんのｎｏ６で、初式としての
＞E＝１／Ｃ・di/dt　＋　Ｒ・ｉ・・（間違い）
は、間違いでは無いと思いますよ。
解法の途中で後半の式になるのかもしれませんが、
あくまでも最初の式は上式で正解だと思います。

電気工学ポケットブックによれば、（RCではなくRLですが）
　Ｖ＝Ｌdi/dt　＋　Ｒ・ｉ
からはじめていますから。

あと、時定数τにいて補足
τ＝CR　で決まり最終式においてｔ＝τにいれるとその値が
ｅ＾(－CRτ)＝１／ｅ　但しeは自然対数の底
となることから定められた定数です。

No.6 回答者： ruto 回答日時： 2005/05/16 18:25

No５で微分方程式が間違ってました。

（適当にコピーしたので）
＞E＝１／Ｃ・di/dt　＋　Ｒ・ｉ・・（間違い）
ではなく
E＝R・ｉ＋1/C∫idt　です、ｔで微分して
0＝R・di/dt＋1/C・i　
i＝・・・　　　　　　　　　以下同じです。

No.5 回答者： ruto 回答日時： 2005/05/16 18:16

E：電源電圧、C：コンデンサの容量、R：抵抗，ｉ：回路電流、ｔ：スイッチＯＮ後の経過時間（秒）とすれば、次の微分方程式が成立する。

E＝１／Ｃ・di/dt　＋　Ｒ・ｉ
この式を解くと
ｉ＝Ｅ／Ｒ・ｅ＾（－ｔ/RC）
となる。（ただしｔ＝0におけるコンデンサの電荷量q0＝0とする）
　これよりコンデンサの両端の電圧Vcは
Vc＝E（１－ｅ＾（－ｔ/RC）
となる。
この式にｅ、R、C、ｔを入れつとコンデンサの電圧Vcが求められる。
τ＝RC　τは回路の時定数と呼ばれている。
　この値で定常値に至る、時限の目安になる。
時定数の３．６倍の時限で定常値の９５％程度の値になる。

No.4 回答者： ymmasayan 回答日時： 2005/05/15 18:33

No.3です。

Googleなどで「数値解析　オイラー法　ルンゲクッタ法　表計算」で
検索して見るといいかも知れません。
あとはご自分でどうぞ。

No.3 回答者： ymmasayan 回答日時： 2005/05/14 22:04

ＲＣ回路が分からずに解いても意味も興味も半減でしょう。

要点を説明しましょう。
ここで言われている「ＲＣ回路」というのは「Ｒ：抵抗」と「Ｃ：コンデンサ」を
直列にしたものです。
コンデンサに蓄積されている電荷がゼロの状態で電圧をかけると
最初は電圧／抵抗の大きさの電流が流れます。
そのうち、コンデンサーに電荷が蓄積されてくると電流は徐々に減ってきて
最後はゼロになります。
一方コンデンサの両端の電圧は最初はゼロで時間が経つとともに増加し、
最後は電源電圧に等しくなります。
式の導き方は微分方程式を解く部分が難解ですが感じだけはつかんでおく方がいいでしょう。
その上で、結論の式は丸暗記したほうがいいと思います。
参考ＵＲＬの質問に回答していますので参考にしてください。某高専の資料です。
ここで言っているＲＣ回路というのは別名積分回路とも言います。
ついでに、Ｒ＊Ｃを時定数と言い、ギリシャ文字τ(タウ)で表します。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1387214

この回答への補足

Ｖ＝１／Ｃ・di/dt　＋　Ｒ・ｉをオイラー法とルンゲクッタホ法の式に代入したらいいのでしょうか？

ぜんぜん考えてもわからないんです

補足日時：2005/05/15 15:53

この回答へのお礼

数値計算で求めかたが全然分からないのです

お礼日時：2005/05/15 17:09

No.2 回答者： a987654 回答日時： 2005/05/14 21:55

編入されたということで、ある程度の疑問は解けました。

学業のことが、このＷＥＢの質問で埋め合わせできますでしょうか？
私は否だと思います。

編入されて、不足している学力は貴方自身が勉強するしかないのです。
学校の先生に相談すべきと思います。
周囲の学友等も恥じなどと思わずにどんどん質問をして、相手の知識を
吸収すべきです。（知らない事を聞くのは何も恥じではありません）
そうしなければ、貴方はせっかく編入した高専を続けていくことが、
出来なくなってしまうのではないでしょうか？
頑張ってください。応援します。

この回答へのお礼

今も、ついて行くのに必死な状態です＾＾
頑張って在校生に追いつこうと思います

ありがとうございました

お礼日時：2005/05/19 16:40