P=exp(xy)[ycos{(x^2-y^2)/2}-xsin{(x^2-y^2)/2}] を積分

P=exp(xy)[ycos{(x^2-y^2)/2}-xsin{(x^2-y^2)/2}]
をyで積分する方法を教えてください。

exp(ax)sin(bx) (a,bは定数)
の方法は検索して見つけたのですが、よくわかりませんでした。
しかもこの式の場合exp(xy)とyとcos{(x^2-y^2)/2}と３つの積なのでどのように積分するのか全くわかりません。

分かる方、お教え願います。<(_ _)>

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/10/27 17:07

積分する方法ってか、積分を思いつく方法としては...

y cos{ (x^2-y^2)/2 } の先頭の y が
(d/dy) sin{ (x^2-y^2)/2 } = cos{ (x^2-y^2)/2 }・(d/dy)(x^2-y^2)/2
　　　　　　　　　　　= cos{ (x^2-y^2)/2 }・(-ｙ)
で生じることに気づいて、
P が積の微分の形になっているのではないか？と疑ってみる。

そこで
P = - exp(xy) [ x sin{ (x^2-y^2)/2 } ] - exp(xy) [ - y cos{ (x^2-y^2)/2 } ]
と整理してみると、
P = [ - exp(xy)・x ][ sin{ (x^2-y^2)/2 } ]+ [ - exp(xy) ][ - y cos{ (x^2-y^2)/2 } ]
　= [ (d/dy) - exp(xy) ][ sin{ (x^2-y^2)/2 } ] + [ - exp(xy) ][ (d/dy) sin{ (x^2-y^2)/2 } ]
　= (d/dy) [ - exp(xy) sin{ (x^2-y^2)/2 } ]
であることが判る。

あ、答え解っちゃったんですけど... という話になる。
積分って、方法論的に計算するものじゃなく、本来
パッと思いつくかどうかのものだから。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/10/26 05:17

e^{i(x^2-y^2)/2}=cos{(x^2-y^2)/2}+isin{(x^2-y^2)/2}

e^{-i(x^2-y^2)/2}=cos{(x^2-y^2)/2}-isin{(x^2-y^2)/2}

e^{i(x^2-y^2)/2}+e^{-i(x^2-y^2)/2}=2cos{(x^2-y^2)/2}
e^{i(x^2-y^2)/2}-e^{-i(x^2-y^2)/2}=2isin{(x^2-y^2)/2}

cos{(x^2-y^2)/2}=(e^{i(x^2-y^2)/2}+e^{-i(x^2-y^2)/2})/2
sin{(x^2-y^2)/2}=(-ie^{i(x^2-y^2)/2}+ie^{-i(x^2-y^2)/2})/2

ycos{(x^2-y^2)/2}=(ye^{i(x^2-y^2)/2}+ye^{-i(x^2-y^2)/2})/2
-xsin{(x^2-y^2)/2}=(ixe^{i(x^2-y^2)/2}-ixe^{-i(x^2-y^2)/2})/2

ycos{(x^2-y^2)/2}-xsin{(x^2-y^2)/2}={(y+ix)e^{i(x^2-y^2)/2}+(y-ix)e^{-i(x^2-y^2)/2}}/2

i(e^{xy-iy^2/2})'=i(x-iy)e^{xy-iy^2/2}=(y+ix)e^{xy-iy^2/2}
-i(e^{xy+iy^2/2})'=-i(x+iy)e^(xy+iy^2/2)=(y-ix)e^(xy+iy^2/2)

∫Pdy
=∫e^(xy)[ycos{(x^2-y^2)/2}-xsin{(x^2-y^2)/2}]dy
=∫[{(y+ix)e^(xy)e^{i(x^2-y^2)/2}+(y-ix)e^(xy)e^{-i(x^2-y^2)/2}}/2]dy
=∫[{(y+ix)e^(xy+i(x^2-y^2)/2}+(y-ix)e^(xy-i(x^2-y^2)/2}}/2]dy
=∫[{e^(ix^2/2)(y+ix)e^(xy-iy^2/2)+e^(-ix^2/2)(y-ix)e^(xy+iy^2/2)}/2]dy
={e^(ix^2/2)∫(y+ix)e^(xy-iy^2/2)dy+e^(-ix^2/2)∫(y-ix)e^(xy+iy^2/2)dy}/2
=(ie^(ix^2/2)e^{xy-iy^2/2}-ie^(-ix^2/2)e^{xy+iy^2/2})/2
=(ie^{xy+i(x^2-y^2)/2}-ie^{xy+i(y^2-x^2)/2})/2
=e^{xy}(ie^{i(x^2-y^2)/2}-ie^{i(y^2-x^2)/2})/2

=e^{xy}sin{(y^2-x^2)/2}