仕事とエネルギーに関する質問です。 水平面上を運動エネルギーw1を持った状態で右向きに進む物体があっ

仕事とエネルギーに関する質問です。
水平面上を運動エネルギーw1を持った状態で右向きに進む物体があったとして、粗い水平面上(動摩擦力f、長さL)を通過したあとw2になったとします。このとき、
w1(はじめ)-fL(動摩擦力がした仕事)＝w2(あと)が成り立つと思います。
次に、半径Rの地球の表面からの高さhの地点から地表まで動くとき、万有引力のした仕事Wを求めます。無限遠を基準としたh地点での位置エネルギーをu1。地表での位置エネルギーをu2とします。自分は、最初のと同じようにu1(はじめ)+W(万有引力がした仕事)＝u2(あと)と計算しましたが、正しい答えが出ません。積分すればいい話ですが、この式で答えが得られないのは疑問です。

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2024/11/09 15:43

前-求める仕事＝後でやると正しい答えが出るのですが、なぜでしょうか？

はいそうなんです。
もともと重力場においてOにたいするPの位置エネルギーというのは
外部から重力とは大きさ同じで向きが反対の力を加えながら
物体をPからOに移動させるときに外部がする仕事をいうのです。
だから位置エネルギーの変化で使う仕事は重力がする仕事ではなく
大きさが重力と同じで向きが反対の力がする仕事をつかう。
使うべき仕事は　－(重力がする仕事）です。
だから
前＋重力と大きさ同じで向きが真反対の力のする仕事＝後　です。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2024/11/09 11:41

No.1&2 です。

#1 の「お礼」について。

＞無限遠を基準とした万有引力による位置エネルギーを使って前+求める仕事＝後で計算しました。

「基準」とは「ゼロ」ということですか？
「無限遠をゼロ」にしたら、全領域で「重力ポテンシャルは負」になることは分かりますか？
重力のする仕事は
　∫[∞→x](GMm/r^2)dr
= [-GMm/r][∞→x]
= -0 + GMm/x
= GMm/x
ですから
　U(x) = U(∞) - GMm/x = -GMm/x　（∵ U(∞)=0）
→　U(x) + GMm/x = U(∞) = 0

ポテンシャルエネルギーの「正・負」や、力のした仕事（= 物体がされた仕事）の「正・負」をきちんと考えていますか？

なお、重力による位置エネルギーは「保存力」ですから、「力学的エネルギー」は保存し、
・位置エネルギーが減った分、運動エネルギーが大きくなる
・位置エネルギーが増えた分、運動エネルギーが小さくなる
という関係で、合計は一定です。
#2 で「運動エネルギーと位置エネルギーを混同して考えていませんか？」と書いたのはそのことで、質問文の上半分は「運動エネルギー」について（水平なので位置エネルギーは一定）、下半分は「位置エネルギーだけしか考えていない」ようにお見受けしたからです。
下の「重力場での鉛直方向の運動」では、「位置エネルギー」は上に書いたとおりですが、これに加えて「運動エネルギーの変化」もきちんと考えないといけません。自由落下で「重力のした仕事」は「位置エネルギーを減少」させると同時に「運動エネルギーを増加」させ、トータルの「力学的エネルギー」は一定です。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/11/09 00:46

No.1 です。

質問者さんは、運動エネルギーと位置エネルギーを混同して考えていませんか？

そこでいうエネルギーは「運動エネルギー」ということですね？

前半の「水平」の運動の場合には、エネルギーは「運動エネルギー」ということです。
動摩擦力は運動方向（移動方向）と逆向きですから、動摩擦力のする仕事は
・動摩擦力： f = μmg で一定
・停まるまでの距離 -L（動摩擦力の方向を正とする）
なので
　fL = -μmgL
です。
従って、物体の運動エネルギーは
　W1 + fL = W1 - μｍgL = W2

後半の「鉛直」の「上→下」の自然落下運動で「運動エネルギー」を考えるなら、重力は運動方向（移動方向）と同じ向きですから、重力のする仕事は
・重力を F = GMm/R^2 = mg で一定
・落下する距離 h
とすれば
　Fh = mgh
です。
従って、物体の運動エネルギーは
　W1 + Fh = W1 + ｍgL = W2

前半と同じような「減速」であれば、「鉛直上向き」の運動であり、その場合には運動方向（移動方向）は重力と逆向きですから、重力のする仕事は
・重力を F = GMm/R^2 = mg で一定
・上昇する距離 -h（重力の方向を正とする）
とすれば
　Fh = -mgh
です。
従って、物体の運動エネルギーは
　W1 + Fh = W1 - ｍgL = W2


後半を「運動エネルギー」ではなく「位置エネルギー」とするなら、万有引力
　F = GMm/r^2
に逆らって、上向きの力で高さ h1 → h2 (= h1 + h) に持ち上げる仕事は
ΔW = ∫[h1→h2](F)dr = ∫[h1→h2](GMm/r^2)dr
= [-GMm/r] [h1→h2]
= GMm(1/h1 - 1/h2)
= GMm(h2 - h1)/(h1･h2)
= GMmh/(h1･h2)

ここで、h1≒R, h2≒R (R は地球の半径）で近似すれば
ΔW ≒ GMmh/R^2　　　　①

ここで、地表面の重力を、重力加速度 g を使って書けば
　GMm/R^2 = mg
となって、
　g = GM/R^2
ということが分かります。

これで①を書きかえれば
　ΔW ≒ mgh
ということになります。

以上より、位置エネルギーは
　U1 + ΔW = U2
つまり
　U1 + mgh = U2
ということになります。

これは
　U1 = mgh1
　U2 = mgh2 = mg(h1 + h)
なので当然といえば当然です。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/11/08 22:50

＞自分は、最初のと同じようにu1(はじめ)+W(万有引力がした仕事)＝u2(あと)と計算しましたが、正しい答えが出ません。

どのような計算をしたのですか？

通常なら、高さの差は地球の半径に比べて非常に小さいので、始めも終わりも同じ重力加速度、つまり「同じ万有引力の大きさ」として近似的に計算します。

正確に計算したいのなら、始めと終わりの万有引力の大きさが異なるとして計算しないといけません。
始めから終わりまで、万有引力の大きさは高さに応じて変化しますから、それを考慮して積分しないといけません。
そのように計算しましたか？

この回答へのお礼

積分はそれを考慮しました。自分がした計算は、無限遠を基準とした万有引力による位置エネルギーを使って前+求める仕事＝後で計算しました。前-求める仕事＝後でやると正しい答えが出るのですが、なぜでしょうか？

お礼日時：2024/11/09 06:42