数学(解析学)の問題の答えと解法を教えてください

1/((x^2)+4)^2を-∞から∞で積分した値と留数定理を使った解き方を教えてください。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/22 14:29

同じ積分路を使ったようだね。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2025/01/21 20:25

f(x)=1/(4+x^2)^2=1/{(x+2i)(x-2i)}^2

f(x) は　x=2i で2位の極を持つから
留数公式から

Res(f(x),2i)
=lim[x→2i](d/dx){f(x)(x-2i)^2}
=lim[x→2i](d/dx){1/(x+2i)^2}
=lim[x→2i]-2/(x+2i)^3
=-2/(4i)^3
=-i/32

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/21 13:27

f(x) = 1/(x^2+4)^2 = 1/( (x-2i)^2 (x+2i)^2 ) は、

x = ±2i にそれぞれ 2位の極を持ちます。
x = 2i における留数は、 x = 2i + h と置いて
h に関する部分分数分解を行うと
f(x) = 1/( h^2 (h+4i)^2 )
　　= (-1/16)/h^2 + (-i/32)/h + (-1/16)/(h+4i)^2 + (i/32)/(h+4i)
となることから、Res[f(x),2i] = -i/32 です。
Res[f(x),-2i] も同様に計算できますが、今回はその値は使いません。

実軸上を -R から R へ向かう経路を I,
原点中心の上半円しゅうを通って R から -R へ向かう経路を H として、
閉路 I + H での f(x) の積分を考えます。 R > 2 のとき
留数定理より ∮[I+H] f(x)dx = Res[f(x),2i]・2πi = π/16 です。

経路を分割して ∮[I+H] f(x)dx = ∫[I] f(x)dx + ∫[H] f(x)dx ですが、
この式は任意の R について成り立つため、 R→+∞ の極限において
π/16 = ∫[-∞,+∞] f(x)dx + lim[R→+∞] ∫[H] f(x)dx が成り立ちます。

あとは、lim[R→+∞] ∫[H] f(x)dx の処理ですね。
x ∈ H のとき x = R e^(iθ), θ ∈ [0,π]
と置くことができ、
x^2 + 4 = (R^2) e^(2iθ）+ 4
　　　　= { (R^2)cos(2θ) + 4 } + i{ (R^2)sin(2θ) }
より
｜x^2 + 4｜^2 = { (R^2)cos(2θ) + 4 }^2 + { (R^2)sin(2θ) }^2
　　　　　　　= R^4 + 8(R^2)cos(2θ) + 16
　　　　　　　≧ R^4 + 8(R^2)(-1) + 16　　；等号成立は2θ=πのとき
　　　　　　　= (R^2 - 4)^2.

これを使って、
｜∫[H] f(x)dx｜ ≦ ∫[H] ｜f(x)｜dx
　　　　　　= ∫[H] { 1/｜x^2 + 4｜^2 }dx
　　　　　　≦ ∫[H] { 1/｜R^2 - 4｜^2 }dx
　　　　　　= { 1/｜R^2 - 4｜^2 } ・ ∫[H] 1dx
　　　　　　= { 1/｜R^2 - 4｜^2 } ・ πR.

R→+∞ の極限を考えると、
｜lim[R→+∞] ∫[H] f(x)dx｜ = lim[R→+∞] ｜∫[H] f(x)dx｜
　　　　　　　　　　　　　　　≦ lim[R→+∞] πR/｜R^2 - 4｜^2 = 0
より
lim[R→+∞] ∫[H] f(x)dx = 0.

以上をまとめると、
∫[-∞,+∞] f(x)dx = π/16 です。

この回答へのお礼

ありがとうございます
本当にありがとうございます

お礼日時：2025/01/21 13:45