2本の当たりくじを含む10本のくじがある。この中からくじを1本ずつ3回引くとき、当たりを引く回数をX

2本の当たりくじを含む10本のくじがある。この中からくじを1本ずつ3回引くとき、当たりを引く回数をXとする。Xの確率分布を求めよ。ただし、引いたくじは元に戻さない。

の問題の解き方がわかりません。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/03/09 18:15

X の値ごとに確率を求めればよいです。

X = 0 となる確率：
(ハズレを 3 本引く場合の数) / (クジ 3 本を引く場合の数)
= (8C3) / (10C3)
= 7/15.

X = １ となる確率：
(アタリ 1 本,ハズレを 2 本引く場合の数) / (クジ 3 本を引く場合の数)
= (2C1)(8C2) / (10C3)
= 7/15.

X = 2 となる確率：
(アタリ 2 本,ハズレを 1 本引く場合の数) / (クジ 3 本を引く場合の数)
= (2C2)(8C1) / (10C3)
= 1/15.

X = 3 となる確率：
(アタリを 3 本引く場合の数) / (クジ 3 本を引く場合の数)
= 0 / (10C3)
= 0.

確率分布とは、以上の確率をまとめて書いたもののことです。
表で書くと見やすいでしょう
X　　　　　｜　　0　　　　1　　　　2　　　　3
----------------+----------------------------------------------------
そうなる確率 ｜　7/15　　　7/15　　1/15　　　0

No.5 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2025/03/10 14:57

No.4です。

すみません。高校のカテでしたね（汗）。

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2025/03/10 14:55

大学生ですか？それとも品質管理検定の受験者？

ならば、解き方は「超幾何分布の式に代入」です。

引いたくじを元に戻さないことを、非復元抽出と言います。
ただ、大量サンプルの時は、復元抽出と見なしても良いです。そのときの確率質量分布は「二項分布」に従います。

一方、この例のように有限母集団から非復元抽出を行うときの確率質量分布は「超幾何分布」に従います。

「超幾何分布」で検索してみて下さい。公式が出て来ます。

なお、確率質量分布にするためには、当たり0本、1本、2本の場合について、それぞれ代入計算します。当たり3本以降は確率０になります。当然ですよね。

ちなみに統計ソフトRで計算すると、

> dhyper(0,2,8,3)
[1] 0.4666667
> dhyper(1,2,8,3)
[1] 0.4666667
> dhyper(2,2,8,3)
[1] 0.06666667
> dhyper(3,2,8,3)
[1] 0
・
・
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No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2025/03/09 21:15

No.2 です。

「解き方」なんてありません。
起こることを全部書き出して数を数え（総数）、該当するものの数を数えて「総数」の中の割合を計算すれば、それが確率です。
やるのは「数える」ことです。
多少「うまいやり方」がある場合もありますが、それは「数え方」が分かった上でのことです。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2025/03/09 21:11

別な解き方。

(1a) 1回目にあたりを引く確率：2/10
(1b) 1回目にはずれを引く確率：8/10

1回目にあたりを引いたとき (1a) に（残り：あたり1、はずれ8）
(2aa) 2回目にあたりを引く確率：1/9
(2ab) 2回目にはずれを引く確率：8/9

1回目にはずれを引いたとき (1b) に（残り：あたり2、はずれ7）
(2ba) 2回目にあたりを引く確率：2/9
(2bb) 2回目にはずれを引く確率：7/9

１回目、２回目ともあたりなら (2aa)、もうあたりはないので
(3aab) ３回目は必ずはずれ：確率 8/8 = 1

1回目にあたり、2回目にはずれを引いたとき (2ab) に（残り：あたり1、はずれ7）
(3aba) ３回目にあたりを引く確率：1/8
(3abb) 3回目にはずれを引く確率：7/8

1回目にはずれ、2回目にあたりを引いたとき (2ba) に（残り：あたり1、はずれ7）
(3baa) ３回目にあたりを引く確率：1/8
(3bab) 3回目にはずれを引く確率：7/8

１回目、２回目ともはずれを引いたとき (2bb) に（残り：あたり2、はずれ6）
(3bba) ３回目にあたりを引く確率：2/8
(3bbb) 3回目にはずれを引く確率：6/8

これ以外のプロセスはありませんよね。

(0) あたりくじは2本しかないので、3回あたることはあり得ない。
　従って、確率は 0

(1) 「2回あたる」のは
・(3aab) その確率は (2/10) * (1/9) * (8/8) = 1/45
・(3aba) その確率は (2/10) * (8/9) * (1/8) = 1/45
・(3baa) その確率は (8/10) * (2/9) * (1/8) = 1/45
よって、合計確率は
　1/45 + 1/45 + 1/45 = 3/45 = 1/15

(2) 「1回あたる」のは
・(3abb) その確率は (2/10) * (8/9) * (7/8) = 7/45
・(3bab) その確率は (8/10) * (2/9) * (7/8) = 7/45
・(3bba) その確率は (8/10) * (7/9) * (2/8) = 7/45
よって、合計確率は
　7/45 + 7/45 + 7/45 = 21/45 = 7/15

(3) 「0回あたる」のは
・(3bbb) その確率は (8/10) * (7/9) * (6/8) = 21/45 = 7/15

以上の結果を「確率分布」にするのは #1 さんのとおりです。