
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
r=√(h²+k²) (=|h,k|のことらしい)とする。
|f(a+h,b+k)-f(a,b)-hfx(a,b)-kfy(a,b)|/r
=|{fx(a',b)-fx(a,b)}h+{fy(a+h,b')-fy(a,b)}k|/r
≦|fx(a',b)-fx(a,b)||h|/r+|fy(a+h,b')-fy(a,b)||k|/r
≦|fx(a',b)-fx(a,b)|+|fy(a+h,b')-fy(a,b)|・・・(|h|,|k|≦rだから)
fx,fyは連続だから、r → 0 で、
a' → a, a+h → a, b' → b
だから、上式の右辺は
→ 0
となる。
すると o()の定義から、上式は
f(a+h,b+k)-f(a,b)-hfx(a,b)-kfy(a,b)=o(r)
となる。
つまり
f(a+h,b+k)=f(a,b)+hfx(a,b)+kfy(a,b)+o(r)
となる。
ちなみに、一変数のときだけれど、g(x)≠0 のとき
f(x)/g(x) → 0 (x → a, x≠a)
を
f(x)=o(g(x))
と定義する。
No.8
- 回答日時:
o記号のみの証明を考えた。
f(a+h,b+k)-f(a,b)-hfx(a,b)=kfy(a+h,b)+o(h)+o(k)
ここで、fyは連続だから
fy(a+h,b)-fy(a,b)=o(1) (h → 0のとき、o(1) → 0)
だから
f(a+h,b+k)-f(a,b)-hfx(a,b)-kfy(a,b)=ko(1)+o(h)+o(k)
ここで、
|h|,|k|≦r
であり、r → 0 のとき、h,k → 0
だから
|ko(1)/r|≦|ko(1)/k|=|o(1)| → 0
|o(h)/r|≦|o(h)/h| → 0
|o(k)/r|≦|o(k)/k| → 0
なので
{ko(1)+o(h)+o(k)}/r → 0
したがって、
ko(1)+o(h)+o(k)=o(r)
もう終わりな独り言
少し前、杜撰なところのあるランダウヂャンと思っていたら、数学者のほうだった。こんなきっちりした定義があるとは衝撃だった。
でも慣れないよ。
No.7
- 回答日時:
> f(a+h,b) = f(a,b) + o(h).
> ●なりません。
あ、ほんとだ。ならないね。
f(a+h,b) = f(a,b) + o(1),
fy(a+h,b) = fy(a,b) + o(1).
なんだけど、こう書くためには
o( ) の説明を
o(g(x)) というのは、 lim[x→c] f(x)/g(x) = 0 となるような f(x) の総称
としておかなけりゃならない。
こっちのほうが一般的なんだけど、 x→c を明示しない記法
であることを回避したかった。
それで間違ってちゃしょうがないけどね。
ちゃんとやりなおすと...
一変数の平均値定理から
f(a+h,b) = f(a,b) + h fx(a,b) + o(h),
f(a+h,b+k) = f(a+h,b) + k fy(a+h,b) + o(k).
fy は連続と仮定したので
fy(a+h,b) = fy(a,b) + o(1).
代入整理して、
f(a+h,b+k) = f(a,b) + h fx(a,b) + k fy(a,b) + { o(h) + k o(1) + o(k) }.
あとは、 o(h) + k o(1) + o(k) = o(|(h,k)|) をしめせばいい。
それには 各 o( ) を総称でなく具体的な関数名にして、
lim[h→0] O1(h)/h = 0, …[1]
lim[h→0] O2(h,k) = 0, …[2]
lim[k→0] O3(h)/k = 0 …[3]
のとき
lim[|(h,k)|→0] { O1(h) + k O2(h,k) + O3(h) } / |(h,k)| = 0 …[4]
を示せばよいことになる。
lim[|(h,k)|→0] { O1(h) + k O2(h,k) + O3(h) } / |(h,k)|
= lim[|(h,k)|→0] O1(h)/|(h,k)|
+ lim[|(h,k)|→0] k O2(h,k)/|(h,k)|
+ lim[|(h,k)|→0] O3(h)/|(h,k)|,
= lim[h→0,k→0] { O1(h)/h }{ h/|(h,k)| }
+ lim[h→0,k→0] { O2(h,k) }{ k/|(h,k)| }
+ lim[h→0,k→0] { O3(h)/h }{ h/|(h,k)| }
(h,k) = r (cosθ,sinθ) と置けば解るように
h/|(h,k)|, k/|(h,k)| は有界だから、
[1][2][3] より [4] が計算できた。
せっかくランダウの記号を使ったのに、あまりスッキリ感がないかな。
o( ) どうしの計算を「自明」ですませられないと、ありがたみはない。
No.4
- 回答日時:
どうせなら、ランダウの記号一本で行ったら?
o(x) というのは、 lim[x→0] f(x)/x = 0 となるような f(x) の総称。
この記号を使って、一変数の平均値定理は
f(a+h) = f(a) + h f’(a) + o(h)
となる。
これを f(x,y) の x, y にあてはめれば、それぞれ
f(a+h,b) = f(a+h,b) + h fx(a,b) + o(h),
f(a+h,b+k) = f(a+h,b) + k fy(a+h,b) + o(k)
と書ける。(引用の式どおり。)
f が x で偏微分可能なら、x について連続だから
f(a+h,b) = f(a,b) + o(h).
f は連続微分可能と仮定したから、fy は連続であり、
fy(a+h,b) = fy(a,b) + o(h)
でもある。
以上を代入してまとめると、
f(a+h,b+k) = f(a,b) + h fx(a,b) + k fy(a,b) + { o(h) + o(h) + k o(h) + o(k) }
となる。
あとは、 o(h) + o(h) + k o(h) + o(k) = o(|(h,k)|) を示せばいい。 …[*]
まず、 o(h) + o(h) + k o(h) = o(h).
lim[h→0] F1(h)/h = lim[h→0] F2(h)/h = lim[h→0] F3(h)/h = 0 のとき
lim[h→0] { F1(h) + F2(h) + k F3(h) }/h = 0 を示せばいいが、
これは高校範囲だよね。
次に、 o(h) + o(k) = o(|(h,k)|).
lim[h→0] F(h)/h = lim[k→0] G(k)/k = 0 のとき
lim[(h,k)→(0,0)] { F(h) + G(k) }/√(h^2+k^2) = 0 を示せばいい。
これも簡単で、
{ F(h) + G(k) }/√(h^2+k^2) = { F(h)/h } h/√(h^2+k^2) + { G(k)/k } k/√(h^2+k^2)
から従う。
ランダウの記号を使うときは、
[*] 以降の話は自明として扱うのが普通だと思う。
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