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No.1
- 回答日時:
とりあえず、気がついたことを回答します。
※[ ]内は積分区間です。F,v,rはベクトルです(ここでは矢印は省略します)。
W=∫[t1→t2] F・v dt (ア)
W=∫[C] F・dr (イ)
この2つは置換積分法で結びついています。つまり、
dr/dt = v
ですから、v dt = dr です。[C]とは、物体が運動する経路(向きのある曲線)です。drは、[C]の微小部分です。
(ア)の式のFは、tの関数です。(イ)の式のFは[C]の各点で与えられている必要があります。
(ア)と(イ)は数学的に同等ですが、計算に必要な情報が異なります。
(ア)は、各時刻の速度と、各時刻の力がわかっていれば計算できます。
(イ)は、経路の各点における力がわかっていれば計算できます。物体が、経路上をどんな速さで動いたかはわからなくてもかまいません。
つぎに、計算法です。
バネが物体に及ぼす力は、F = k Xではなく、F = - k X と書かれるべきです。この場合、Xはバネが自然長のとき0であるとして物体の位置を表わします。Xが正ならFは負方向ですから、マイナスをつけなければなりません。
この式は「経路の各点における力」を表わしますから、(イ)に入れればWを計算できます。
積分区間の[C]は、一次元ですからdrのかわりにdXとして、X=A→0, 0→-A, -A→0, 0→A の4区間です。
各時刻の速度は、ご質問の通りです。
v = - A ω sin ωt
各時刻の力は、F = - k X に、X = A cos ωt を代入すれば求められます。
この2つを(ア)に入れると、Wを計算できます。積分区間は、t=0→π/(2ω), π/(2ω)→π/ω, π/ω→3π/(2ω), 3π/(2ω)→2π/ω です。
よくわからなかったら、補足してください。
この回答への補足
ありがとうございました!
すっごく参考になりました。
つまり、アとイは時と場合で簡単なほうを使えばいいんですね!
今回の場合はアの方が簡単そうなのでそっちでやってみました。
W=∫ F・v dt=∫-kA^2sinωtcosωtdt
=∫-kA^2sin2ωt/2dt
=kA^2cos2ωt/4
でこれに
t=0→π/(2ω), π/(2ω)→π/ω, π/ω→3π/(2ω), 3π/(2ω)→2π/ωを代入であってますでしょうか?
あと、符号は右向きを正として、
-、-、+、+の順でよろしいでしょうか?
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
No.1の補足への回答です。
>W=∫ F・v dt=∫-kA^2sinωtcosωtdt
符号がちがいます。F = - k X = - k A cos ωt, v = - A ω sin ωt なので、マイナス×マイナスで、積分の中の符号は+になります。
>t=0→π/(2ω), π/(2ω)→π/ω, π/ω→3π/(2ω), 3π/(2ω)→2π/ωを代入であってますでしょうか?
その方法で合っています。
>-、-、+、+の順でよろしいでしょうか?
その順にはなりません。
計算の前に、バネが物体に及ぼす力Fと、物体の速度vを図示して、各区間で仕事が正か負か調べておくとよいです。Fとvが同じ向きなら仕事が正、逆向きなら仕事が負です。これと計算結果を比べて検算としてください。
t=0では、バネは伸びた状態にあることも注意してください。
(イ)でもぜひやってみてください。実は、三角関数が要らないので(イ)の方が簡単です。(ア)の検算にもなります。
よくわからなかったら補足してください。
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