No.1
- 回答日時:
教科書の全単射の定義を読み返しましょう。
そして、g。f:A→Cが全単射であるということはどういうことかを定義どおり書き出してみましょう。それが証明の目標地点ですね。つまり証明の最後にそれが導き出せれば良い。さて、そこに向かうスタート地点は、f:A→Bとg:B→Cですから、それを同じように定義どおり表現しなおして見ます。きっとスタート地点から目標地点までの道筋が見えてくると思います。まずはできるとこまでやってみて改めて質問してください。
2つめの質問で、g*-1というのは g^(-1) つまりgの逆写像でしょうね。(*はあまり使わないのでは?)これも最初の問題と同じで、逆写像の定義をきちんと書き出せば簡単に証明できるはずです。
No.2
- 回答日時:
前者について。
素直に…
1)g○f:A→Cは全射
2)g○f:A→Cは単射
の2点を(順番はどっちでもいいから)示せばよいです。
(勿論、一気に全単射である事を示してもいいですよ。)
後者について。
#1の方同様、逆写像の定義をまず確認して下さい。
何をどうすりゃいいか、すぐに見えてくるはず。
では、頑張って下さい。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
● まちがっていたら、ごめんなさい。
● 合成写像を表わす記号は・とします。
● g・f が全射であることの証明
c が C の任意の要素であるとする。仮定より g:B→C は全射であるから、g(B)=C である。すなわち、
g(b)=c … <1>
を満たす B の要素 b が存在する。さらに、仮定より f:A→B は全射であるから、f(A)=B である。すなわち、
f(a)=b … <2>
を満たす A の要素 a が存在する。<1> <2> より、
g(f(a))=c
g・f(a)=c … <3>
である。C の任意の要素 c から A の要素 a の存在と <3> が導かれるのであるから、g・f:A→C は全射である。
● g・f が単射であることの証明
a, a' が A の任意の要素であるとする。仮定より f:A→B は単射であるから、
f(a)≠f(a') … <4>
である。次に、
b=f(a), b'=f(a') … <5>
とおく。<4> <5> より b≠b' である。仮定より g:B→C は単射であるから、
g(b)≠g(b') … <6>
である。<5> <6> より、
g(f(a))≠g(f(a'))
g・f(a)≠g・f(a') … <7>
である。A の任意の要素 a, a' から <7> が導かれるのであるから、g・f:A→C は単射である。
● (g・f)^(-1)=f^(-1)・g^(-1) の証明
C の任意の要素 c に対して、(g・f)^(-1)(c)=a を満たす、すなわち g・f(a)=c を満たす A の要素 a が存在して、なおかつ a=f^(-1)・g^(-1)(c) を満たすことを示せばよい。
c が C の任意の要素であるとする。仮定より g:B→C は全射であるから、g(B)=C である。すなわち、
g(b)=c … <8>
を満たす B の要素 b が存在する。さらに、仮定より f:A→B は全射であるから、f(A)=B である。すなわち、
f(a)=b … <9>
を満たす A の要素 a が存在する。仮定より g:B→C は単射であることと <8> より、
b=g^(-1)(c) … <10>
である。仮定より f:A→B は単射であることと <9> より、
a=f^(-1)(b) … <11>
である。<10> <11> より、
a=f^(-1)(g^(-1)(c))
=f^(-1)・g^(-1)(c)
● 最後の証明はあやしいです。といいますのは、次の定理の証明がなされていないからです。
「 写像 f の逆対応 f^(-1) が写像となるための必要十分条件は f が全単射であること。また、そのとき f^(-1) は全単射となる 」
No.4
- 回答日時:
私は ANo.#3 で回答した者です。
脱落した部分がありましたので、補正させてください。ごめんなさい。● g・f が単射であることの証明
[ 誤 ]
a, a' が A の任意の要素であるとする。 … ( 中略 ) … A の任意の要素 a, a' から <7> が導かれるのであるから、g・f:A→C は単射である。
[ 正 ]
a, a' が A の任意の異なる要素であるとする。すなわち、a≠a' とする。… ( 中略 ) … A の任意の異なる要素 a, a' から <7> が導かれるのであるから、g・f:A→C は単射である。
No.5
- 回答日時:
No.1 さんが一番大事なことを言っています.人に頼る前に工夫しなくてはなりません.f, g が全単射であるなら,簡単な場合でいい
ですから,それを絵に描いて考えましたか.逆についても同様です.数式だけで考えるのは慣れてからでも十分です.その前に視覚化する等,これ以上考えられないというくらい自分で工夫して下さい.お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 ある方から頂いた回答について 1 2023/07/10 11:34
- 数学 回答の意味について 4 2023/07/11 11:19
- 数学 内田伏一著「集合と位相」裳華房 p28 定理7.1 (カントール )べき集合から集合への単射の不存在 3 2022/11/04 11:54
- 数学 実数同士の対応における対角線論法について 6 2023/07/08 17:01
- 数学 順序集合における「反射律」の役割について 9 2022/05/09 23:01
- 数学 【圏論】モノイドにおける恒等射について 8 2022/06/09 23:52
- 数学 回答の意味について 3 2023/07/06 14:14
- その他(応用科学) 製鉄業 放射性核種 1 2022/07/16 17:51
- 数学 実数同士の全単射写像について 2 2023/07/05 17:12
- 数学 実数の区間-1<x<1から実数全部の集合への全単射の例を教えてください。 3 2022/07/28 01:57
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
数学の「証明」のときなどの接...
-
証明終了の記号。
-
数学の証明問題で、「証明終了」...
-
よって・ゆえに・したがって・∴...
-
素数の性質
-
無理数って二乗しても有理数に...
-
なぜ独身だと養子が持てないの...
-
夫が亡くなった後の義理家族と...
-
兄弟の子どもの養子縁組は可能...
-
高校数学の証明について質問で...
-
婿養子です、妻と離婚して妻の...
-
次元定理以外で
-
四葉のクローバー この言葉一度...
-
「・・・のとき」という言葉の...
-
一様連続の証明
-
√nが有理数ならばnが整数 証明 ...
-
「一般性を失うことはない・・...
-
lim[n→∞]an/bn=a/bの証明法を教...
-
無理数には、任意の有限個の数...
-
実息とは?
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
数学の「証明」のときなどの接...
-
3,4,7,8を使って10を作る
-
証明終了の記号。
-
婿養子に入ったのに出て行けと...
-
数学の証明問題で、「証明終了」...
-
「証明証」と「証明書」はどう...
-
素数の積に1を加算すると素数で...
-
夫が亡くなった後の義理家族と...
-
よって・ゆえに・したがって・∴...
-
学割定期を親に買ってきてもら...
-
(4^n)-1が3の倍数であることの...
-
再婚、奨学金
-
素数の性質
-
なぜ独身だと養子が持てないの...
-
元夫が彼女の存在を隠す理由
-
成人した後両親が離婚し別の人...
-
大学の給付型奨学金について 現...
-
直角三角形の性質
-
通学証明書の契印とは
-
無理数って二乗しても有理数に...
おすすめ情報