
A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
簡潔に (古典力学的に) 書きますと、
p = h / λ = hk / 2π
つまり、波数が増えれば運動量が増大することになります。
E = p^2 / 2m + V
ですから、運動量が増加すると、エネルギーも大きくなります。
No.2
- 回答日時:
「波動関数をxで2回微分して符号を変える操作(演算子)が運動エネルギーに対応している」というのが、
エネルギーが大きい ⇔ 波数が大きい
となる理由です。
(1)まず、xで2回微分したら自分の(-1)倍になるxの関数を探します。
sin x とか cos x がそうです。
xで2回微分したら、それぞれ
-sin x, -cos xになります。
(2)上の関数で、xの代わりにkxとして、2回微分します。
sin kx, cos kx
これらをxで2回微分すると、それぞれ
-k^2 sin kx, -k^2 cos kx
このように、xで2回微分すると、-k^2 倍になります。
(3) - (d^2/dx^2)ψ(x) = k^2 ψ(x)
という微分方程式を考えます。この微分方程式は、「xで2回微分したら -k^2 倍になる関数を探せ」と言っているわけです。この微分方程式の解は、(2)に書いた関数を、適当に定数倍して加えたものになります。
(例) ψ(x) = A sin kx + B cos kx (A, Bは任意定数)
ψ(x)のグラフを描けばすぐわかりますが、kは長さ2πの中の波の数です。
(4)井戸の中ではエネルギーは運動エネルギーだけです。この場合、時間に依存しないシュレディンガー方程式は
-((ち^2/(2 m))(d^2/dx^2)ψ(x)=Eψ(x)
となります。(ち = h/(2π), hはプランク定数, mは粒子の質量, Eはエネルギー,ψ(x)は波動関数の時間に依存しない部分)
(5)上の(3)(4)を照らし合わせると、
ψ(x) = A sin kx + B cos kx
で、k^2 = 2 m E/(ち^2)
とすればよいことがわかります。
※あとは、井戸の大きさに合わせて、(たとえば井戸の幅がaなら x = a/2とx = -a/2 でψ(x) =0になるように)、また、波動関数が規格化されるように、k,A,Bを決めてやればいいのです。
上の式、
k^2 = 2 m E/(ち^2)
をみれば、
エネルギーEが大きい ⇔ kが大きい ⇔ 波数が大きい
ということがわかります。
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