問題が二つあります。↓

二次関数 y=x2+ax+b のグラフが点(2,4)を通り、その頂点が直線 y=2x+1 上にあるとき、a,b の値を求めよ。

二次関数 y=x2-4x+2(1≦x≦4) において、最大値と最小値を求め、そのときのxの値も記せ。

答えとその説明をしていただけたらとても嬉しいのですが、無理でしたら答えだけでもけっこうです。
ああ、誰かお願いです。助けてください・・・。

A 回答 (6件)

こんにちは。

maruru01です。
上の問題を。

まず、二次関数が(2,4)を通るので、代入して
  4=2^2+a*2+b
整理して、
  b=-2*a    ・・・(1)
次に、二次関数の頂点の座標を求めます。頂点ではその接線の傾きが0、つまり微分して0ということなので、二次関数を微分して
  y'=2*x+a=0
したがって、
  x=-a/2
これを二次関数に代入して、
  y=(-a/2)^2+a*(-a/2)+b
   =-a^2/4+b
つまり二次関数の頂点の座標は、(-a/2,-a^2/4+b)で、これが直線上にあるので代入して、
  (-a^2/4+b)=2*(-a/2)+1
整理して、
  a^2-4*a-4*b+4=0  ・・・(2)
(1)、(2)より、aとbの連立方程式を解いて、
  a=-2(重解)
  b=4
となります。

下の問題は、
まず頂点のx座標を求めます。これは、上の問題と同じように微分で求めます。
  y'=2*x-4=0
  x=2
これが問題の範囲にはいっており、この二次関数は上に開いている(xの2乗の項が正の数)ので、この頂点が最少値になります。つまり、
  y=2^2-4*2+2
   =-2
ですね。
あとは範囲のどちらかが最大値です(実際は頂点から遠い方)ので、
  (x=1の時) 1^2-4*1+2=-1
  (x=4の時) 4^2-4*4+2=2
したがって
  最小値:-2(x=2)
  最大値:2(x=4)
になります。
では。
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>二次関数 y=x2-4x+2(1≦x≦4) において、最大値と最小値を求め、そのときのxの値も記せ。



答えは他の人が出しているようですから、おさらいもどきを
とりあえず、下の問題の手がかりのアドバイスを・・(説明は省きました。   ・・;  )
いろいろ、最勉強の必要がありそうです。色々な観点でイメージとしてお伝えします。

二次関数はわかりますか?手始めに
1.因数分解はできますか?
 できると
Y=(X-a)(X-b)        -----*1
ができると思います。この場合、
右辺の左側 X-a=0(ゼロです。)と仮定すると   → X=a ですね。
右辺の右側も同じことが出来ます。
どころで、算数の問題で
C×0は幾つか?   当然 0(ゼロ)です。すると*1のしきで、
Xが a、bの時、X軸(Y=0)をとおる二次関数になります。
(Xだけでなく、2X、3Xの時も同じ考え方でOKです。)

2.
二次関数は他に
Y=a(X-a)^2+b       ------*2
の表現があると思います。   a=0ではない
この式で頂点を表しています。
頂点の座標は、 X-aの場所です。
よって、そのときのX座標の場所は X-a=0のところ、
Xが求まったら、*2の式にXの式を代入しましょう。
あと、X=aを境に左右対称になる事も学びましょう。

下の問題は、2を利用して、式を変換して、ついでにグラフを表示して、
回答するといいでしょう。
(計算はしていませんが、答えは、頂点か範囲指定のどちらかになります。
 私は厳しいので、自分で求めなさいそのほうが貴方の為です。   (笑   )
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rei00さん、そのとおりです。


手元で、MAX=2(X=4)
    MIN=-2(X=2)
と書いてあるのに、タイプミスをしてしまいました。
(高校のテストで同じミスをしたような・・・)

あと、a=-2、b=4でいいのでしょうか? 
手でグラフを書いて、あたりを付けた値がまさにそれなんですが・・・
(それも適当なグラフで)
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最初の問題


グラフが点(2,4)を通るからそのまま代入して
4=2^2+2a+b
b=-2a・・・(1)
式変形をして
y=(x+a/2)^2+b-a^2/4 (^は累乗の意味この場合は^2だから2乗のこと)
頂点は(-a/2,b-a^2/4)となる。
だからこれをy=2x+1に代入して
b-a^2/4=2(-a/2)+1
(1)よりb=-2aを代入して式を整理すると
a^2/4+a+1=0
両辺に4をかけると
a^2+4a+4=0
(a+2)^2=0
よってa=-2
(1)よりb=4となる。


二番目の問題
式変形すると
y=(x-2)^2-2
よって、頂点(2、-2)で下に凸のグラフだとわかる。
1≦x≦4だから頂点のx座標より一番離れているx=4のとき最大値をとり
頂点に一番近い、つまり頂点自身で最小値をとる。
したがって、x=4のとき最大値2 x=2のとき最小値-2
(この問題はグラフを書けばすぐわかります。)
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【1つ目】


 二次関数 y = x^2 + ax + b を変形すると,y = (x + a/2)^2 -(a^2 + 4b)/4 になります。したがって,グラフの頂点は(-a/2, -(a^2 + 4b)/4)です。この頂点が直線 y = 2x + 1 上にある事と点 (2, 4) が二次関数上にある事から,方程式が2つ出来ますね。変数が2つで式が2つですから,これを解けば a, b が求まります。

【2つ目】
 上と同様に,二次関数 y = x^2 -4x + 2 を変形すれば,頂点の座標が求まりますね。二次関数が最大値又は最小値になるのは,頂点か変数xの取りうる端の値(今の場合では,1≦x≦4 から X=1 または X=4 の時)においてです。後はこれらの値を求めて比べてみて下さい。


ami_mizuno さん,
> MAX=2(X=2)
> MIN=-2(X=4)
 タイプミスだと思いますが,この二次関数は点(2, 2)も点(4, -2)も通りませんよ。
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下の方の答えは、


MAX=2(X=2)
MIN=-2(X=4)
だと思います。
実際にグラフを書いてみると解りますよ。
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0<x<1 より両辺を足したり引いたりすれば、
1<x+1<2
-1<x-1<0
よってx-1<y<x+1 は -1<y<2 となり、 -1<v<2
また、x/y=uより0<x<1は0<uy<1
これから両辺に(題意としてy=v=0は定義されないので)1/yを掛ければ
0<u<1/y=1/v となりvの定義域から1/vの定義域の上限は無限大なので
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頂点がxの正の領域か負の領域にあるかを読み取ってください。
(軸が正負のどちらにあるかということ)

>上に凸ということより、a<0 は分かる

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微分して、
y'=(1/2^(1/2))x^(1/2^(1/2)-1)-1=0
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おねがいします。

Aベストアンサー

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∬_S sin(x+y)dxdyの解を求めよ。
ただしS:={(x,y);x≧0,y≧0,x^2+y^2≦1}とする。

と言う問題ですが、検索したところ類似問題の答えを見つけました。
以下をご覧ください。
--------------------------------------------------------------
この先生http://www.math.meiji.ac.jp/new/35.htmlの
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaisekigairon-2/exercise1.pdf
の中の2.の(5)の答えは"2"になっております。
------------------------------------------------
さて、ちょっとややこしいのですが、上記二者は全く同じ問題ではないので、こことは別なあるご相談サイトで前者の問題
∬_S sin(x+y)dxdy;0≦x,0≦y,x^2+y^2≦1・・・・・について質問したところ、次のような回答がありました。

その回答の抜粋;”私も積分値が何なのかは知りませんが、積分領域の S の面積がπ/4 で、sin(x+y)≦1 なので積分値はπ/4 以下になります。”
あとで気づいたのですが、この記述は、
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaisekigairon-2/exercise1.pdf
の答えと矛盾するような気がしますが、どうでしょうか?
当方独学の部分が多いため、わからなくなって困っております。宜しくお願い致します。

∬_S sin(x+y)dxdyの解を求めよ。
ただしS:={(x,y);x≧0,y≧0,x^2+y^2≦1}とする。

と言う問題ですが、検索したところ類似問題の答えを見つけました。
以下をご覧ください。
--------------------------------------------------------------
この先生http://www.math.meiji.ac.jp/new/35.htmlの
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaisekigairon-2/exercise1.pdf
の中の2.の(5)の答えは"2"になっております。
------------------------------------------------
さて、ちょっとややこしいのです...続きを読む

Aベストアンサー

∫[S] sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)dxdy
=∫[0,1]{sin(x)∫[0,√(1-x^2)]cos(y)dy+cos(x)∫[0,√(1-x^2)]sin(y)dy}dx
=∫[0,1]{sin(x)sin√(1-x^2)-cos(x)[cos√(1-x^2)-1]}dx
=∫[0,1]cos(x)dx-∫[0,1] cos{x+√(1-x^2)}dx
=sin(1)-∫[0,1] cos{x+√(1-x^2)}dx …(◆)
≒0.8414709848-0.2793082485
≒0.5621627363
(◆)の第二項の定積分は解析的に行えませんので数値計算(ガウス数値積分法その他→参考URL参照)で計算します。

積分そのものは以下のサイトで数値積分してくれます。
ttp://www10.wolframalpha.com/input/?i=integrate%28integrate%28sin%28x%2By%29%2Cy%2C0%2Csqrt%281-x%5E2%29%29%2Cx%2C0%2C1%29
integrate(integrate(sin(x+y),y,0,sqrt(1-x^2)),x,0,1)

参考URL:http://homepage3.nifty.com/gakuyu/suti/sekibun/gauss-int.html

∫[S] sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)dxdy
=∫[0,1]{sin(x)∫[0,√(1-x^2)]cos(y)dy+cos(x)∫[0,√(1-x^2)]sin(y)dy}dx
=∫[0,1]{sin(x)sin√(1-x^2)-cos(x)[cos√(1-x^2)-1]}dx
=∫[0,1]cos(x)dx-∫[0,1] cos{x+√(1-x^2)}dx
=sin(1)-∫[0,1] cos{x+√(1-x^2)}dx …(◆)
≒0.8414709848-0.2793082485
≒0.5621627363
(◆)の第二項の定積分は解析的に行えませんので数値計算(ガウス数値積分法その他→参考URL参照)で計算します。

積分そのものは以下のサイトで数値積分してくれます。
ttp://www10.wolframalpha.com/input/?i...続きを読む

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3)cosx+cosy=1の関係を積和に変換した式に適用する。

4)2)と3)の結果を使って結果を導く。

あとは自分でやってみてください。
分からないところは途中までの解答を示して補足質問をしてください。


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