ド・モルガンの法則の証明

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質問者：tuort_sig
質問日時：2005/11/05 12:26
回答数：4件

ド・モルガンの法則ってありますよね？（集合論か何かにある）
ベン図でだと証明できるのですが、真理値表と論理演算（∧や∨を使う演算）での証明がどうしてもできません。わかりやすく教えてください。

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回答 (4件)

No.4

回答者： yumisamisiidesu
回答日時：2005/11/07 09:26

私はブール代数で証明するのがいいと思いますがいかがでしょうか.

この回答への補足

1+1=1ってやつですか。具体的な方法を教えてください。

また、論理演算（∧や∨を用いた証明）で導いてください。お願いします。

補足日時：2005/11/07 14:12

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この回答へのお礼

有難うございました。

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お礼日時：2005/11/09 19:53

No.3ベストアンサー

回答者： pascal3141
回答日時：2005/11/05 19:03

#2です。

真偽表で、本来は縦に書いた方がいいのですが、書きにくかったので、横にベクトルのように書きました。下のように縦に並べて表にして見てください。（なお、１は真、０は偽を表す）
|---|
|ＡB|
|1 1|　　ここは、どちらも真を表す。
|1 0|　　ここは、Ａが真、Ｂが偽を表す。
|0 1|　　ここは、Ａが偽、Ｂが真を表す。
|0 0|　ここは、どちらも偽を表す。
|---|

２つの場合は、これらのどれかですので、これらすべてでド・モルガンの式が左右で等しいといえばいいのです。
後は、その表の右側に、否定、和、積などを並べて書いていけばいいのです。
|ＡB|-A -B
|1 1|0　0
|1 0|0　1
|0 1|1　0
|0 0|1　1

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この回答へのお礼

書きにくい真理値表をわざわざありがとうございます。
真理値表がわかりました。誠にありがとうございました。

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お礼日時：2005/11/05 20:23

No.2

回答者： pascal3141
回答日時：2005/11/05 13:48

真理値表で証明する

(1)　-(AUB)=(-A)&(-B)の証明（-は否定,Ｕはまたは,&はかつを表す）
A=[1 1 0 0],B=[1 0 1 0]と置いて
AUB=[1 1 1 0]なので-(AUB)=[0 0 0 1]、
また、-A=[0 0 1 1],　-B=[0 1 0 1] なので(-A)&(-B)=[ 0 0 0 1]　よって　-(AUB)=(-A)&(-B)
(2)　-(A&B)=(-A)U(-B)の証明
A&B=[1 0 0 0]なので、-(A&B)=[0 1 1 1]
-A=[0 0 1 1],　-B=[0 1 0 1] なので(-A)U(-B)=[0 1 1 1]
よって -(A&B)=(-A)U(-B)