置換積分の質問です。
  
π               π
  ∫ xsinx/(1+sin^2x)dx=π/2∫ sinx/(1+sin^2x)dx
0               0

を示せ、という問題なのですが解答にx=πーtとおく、と書いてありました
  これはどのように考えれば良いのでしょうか?

A 回答 (3件)

>あの、積分の計算は解るんですが、X=πーtっておく理由が解らないんです。


>質問の仕方が悪くてすいません。

なるほど。そういう質問でしたか。
私が思うに、「こうやって変数変換するとうまくいくから」
としか答えようがないと思います。
置換積分に限らず、積分では、こうやったら上手く行く
というだけで理由はあまりわからないと思います。

例えば、積分の問題(微分方程式を解く問題)でいろいろな
テクニックをつかって解がでたら、なぜそう変数変換して
うまくいったかは、理由はあるかもしれませんが、そうすれば
うまくいくという知識のほうが大切だと個人的には思っています。
とくに、微分方程式では「解の一意性定理」があるので、
とりあえず解ければそれで満足という感じになるのだと思います。

まあ、なぜそれで上手く行くのかは、「対称性」とか深い理由が
あとからわかることもありますし。意識的にそうすることもありますし。
回答になっていませんが、「そうするとうまくいく」ということで
納得していただけませんか。

また、私個人としても、他の方のご意見も伺いたいと思います。
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この回答へのお礼

「うまくいくから」ですか‥。とりあえずこの変換の仕方は
覚えた方が良さそうですね。ありがとうございました。

お礼日時:2002/01/09 15:24

補足:


sin(π-t)=sin(t)
という三角関数の公式はOKですよね。
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この回答へのお礼

あの、積分の計算は解るんですが、X=πーtっておく理由が解らないんです。
質問の仕方が悪くてすいません。

お礼日時:2002/01/06 18:18

π               


  ∫ xsinx/(1+sin^2x)dx=Aとおきます。
0               

x=πーtを代入します。
A=
π               
  ∫ (πーt)sin(πーt)/(1+sin^2(πーt))dt
0               
=
π               
  ∫ (πーt)sin(t)/(1+sin^2(t))dt
0               
=
π               
  ∫ π*sin(x)/(1+sin^2(x))dx-A
0               

ただし変数tを改めてxと置きなおす。
よって、
2A=
π               
  ∫ π*sin(x)/(1+sin^2(x))dx
0               
より
A=
π               
π/2∫ sinx/(1+sin^2x)dx
0               
以上。
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