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こんばんわ

ドラえもんを観ていて思ったのですが、4次元空間においてある1点から等距離にある点の集合(球)が空間に占める面積の値は何でしょうか?できれば体積もお願いします。

参考になりそうなサイトも教えてください。乱丁すみません。

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A 回答 (3件)

文献等を参照にしていませんし、数学もあまり得意でないですが、学生の頃から個人的に考えていたことに基づいて書きます。




この問題は、「1点から等距離」ですから、極座標で考えます。
三次元の極座標は(r,θ,φ)です。
XYZ軸による三次元の表現は、必ず極座標に変換できます。(導出方法の説明は省きます。)


このとき重要な事実は、
「半径r方向に対して、角度θとφの方向は常に垂直で、かつ、θとφも互いに垂直方向である」
ということです。

二次元で考えれば簡単です。半径に対して、円周に沿う方向は垂直ですよね?
(だから、円の面積は、底辺2πr、高さrの三角形と同じ面積になるのです。円の「底辺」である円周と「高さ」である半径とは、常に垂直ですから。)


三次元は、地球儀のイメージで考えるとわかりやすいです。
θは緯度、φは経度と考えます。
地表で見れば、
θが-90度(南緯90度)~+90度(北緯90度)の範囲で動いた軌跡も、
φが-180度(西経180度)~+180度(東経180度)の範囲で動いた軌跡も、
地球の中心から見れば、それは全て地表(球の表面)での動きですから、r(半径方向)に対して垂直です。

球の表面積は、4πr^2です。
球の体積は、半径ゼロから半径rまでの球の表面積の集合ですから、
∫4πr^2・dr = 3分の4 ×πr^3
となるわけです。
つまり、表面積が既知であれば、球の体積は簡単に求まります。

ですから、先に球の表面積を求めるのが重要になります。

θとφの取るべき範囲は上述したとおりですが、度の単位をラジアンに書き直しますと

θの範囲:-90度~90度 → -π/2~+π/2
φの範囲:-180度~+180度→ -π~+π


θ(緯度)を固定して考えますと、φを-π~+πの範囲で振れば、φの軌跡は円になります。
その、一つの円の半径は、r・cosθ
したがって、一つの円周は、2πr・cosθ です。
球の表面は「一つの円周」の集合体ですから、
この円周を、θ=-π/2~+π/2 の範囲で積分すれば、球の表面積になるはずです。
円周の太さは、微小なθ幅rdθです。

表面積を求めるのですから、rは固定です。

∫2πrcosθ・rdθ = 2πr^2・∫cosθ・dθ
 = 2πr^2[sinθ]
 = 2πr^2・(1-(-1))
 = 4πr^2

ここまでで、三次元までの球の表面積、体積の考え方がわかったことになります。



では、
ゼロ次元から三次元までの円周、面積・表面積、体積について総括しますと、

ゼロ次元:
 半径も円周もない

一次元:
 半径rがあるだけ(座標は、-rと+rのみ)

二次元:
 半径r
 円周は、∫rθ・dθ(θ=-π~+π)=2πr、
 面積は円周の集合であり、∫2πr(r=0~r)=πr^2

三次元:
 半径r
 1つの円周は、∫r・cosθdφ(φ=-π~+π) = 2πr・cosθ
 表面積は円周の集合であり、∫2πrcosθ・rdθ(θ=-π/2~+π/2)= 4πr^2
 体積は表面積の集合であり、∫4πr^2・dr(r=0~r) = 4/3・πr^3


では、いよいよ、四次元について考えます。

四次元極座標を(r、θ、φ、ω)と定義します。
そして、各々が取るべき範囲を考えましょう。
まず、rについては、何も悩むことがありません。
残りの3つ、すなわち、角度θ、φ、ωが問題です。
(3つの順番は、どれが先でもよいのですが)

三次元では、互いに直交する角度座標
緯度θ=-π/2~+π/2、経度φ=-π~+π
を定義しました。
これによって、球の表面の全てを表すことができ、
かつ、上記範囲を定めることにより、一対一対応すなわち1つの場所に対して必ず1つの座標が与えられました。
もしも、θが+π/2よりも大きい値を取ることを許してしまうと、北極を通り過ぎて、地球の裏側へ行ってしまうので、一対一対応にならなくなってしまいます。
ですから、三次元極座標で半径r以外の座標の合理的な範囲設定は、「-π/2~+π/2」「-π~+π」の2種類以外に考えられません。

では、四次元座標では、3つの角度のうち2つが仮に「-π/2~+π/2」「-π~+π」であるとして、もう一つの角度をどう定義すればよいでしょう?

おそらく、ですが、四次元まで考え方を拡張する場合、上記2つのほかに、任意の(=勝手に決めた、若しくは想像上の)範囲を取ることになると思います。



また、ゼロ次元から順を追って考えたことから分かるように、
 (a、b、c、dは任意)
aπr は円周、球の一つの円周
bπr^2 は円の面積(円周の集合)、球の表面積(一つの円周の集合)
cπr^3 は球の体積(球の表面積の集合)
という物理的な次元を持っています。

4次元では、おそらく、dπr^4 という新しい次元概念が必要になるでしょう。
すなわち、
aπr は一つの円周
bπr^2 は一つの球の表面積(円周の集合)
cπr^3 は一つの球の体積(表面積の集合)
dπr^4 は謎の概念(体積の集合)

また、三次元の表面積を求めた過程で、一つの円周(φの範囲=-π~+π)は、
2πr・cosθ
となりました。
θとφは、お互い垂直なのですが、長方形や三角形のように単純にθ×φというように掛け算をして微小面積が求まるわけではなくcosθという可変の補正係数を掛ける必要があったわけです。
それは、四次元に拡張したときに、どうなるか?
これは不明です。



<まとめ>

・円や球の諸性質の計算には、互いに直交する極座標を用いる。
 四次元極座標であれば(r、θ、φ、ω)

・三次元でθ、φの範囲をそれぞれ、-π/2~+π/2、-π~+π と決めたのと同様に、四次元でも角度座標の範囲を定める必要があり、かつ、重複座標の不合理が無いようにしなければいけない。
 そうしないと、積分の範囲が定まらず、表面積、体積を計算することができない。


・三次元の計算で登場した「2πr・cosθ」の「cosθの」ように、可変の係数が、さらに必要になると思われるが、それが何であるかは不明。




<追伸>
相対性理論では、光が進む経路は、時空のゆがみを考慮したときの最短距離、すなわち四次元での最短距離になります。
したがって、その最短距離の集合を球とする考え方は出来ますが、
しかし、そのとき、球の表面積や体積を求めるということの意味は、時空のゆがみによって見かけのXYZが変わったときの球、すなわち、結局三次元のXYZ座標での表面積になってしまうような気がします。
何かしらの概念で任意に定義することは可能かもしれませんが・・・



(参考)三次元までの計算 (私は参照していないのですが)
http://ksgeo.kj.yamagata-u.ac.jp/~kazsan/class/g …
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この回答へのお礼

数学が得意じゃないなんて謙遜しすぎです。
とても詳しく書かれていて参考になりました。
本当にありがとうございます。

お礼日時:2006/03/06 20:38

せっかくですから、#1さんのところにでている、4次元超球の媒介変数表示を出してときます。



x^2+y^2+z^2+w^2=r^2
より、
x=r・sinω・sinθ・cosφ
y=r・sinω・sinθ・sinφ
z=r・sinω・cosθ
w=r・cosω

0≦φ<2π
0≦θ≦π
0≦ω≦π
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過去にも同様な質問がありました。


http://okwave.jp/kotaeru.php3?q=569499

参考URL:http://okwave.jp/kotaeru.php3?q=569499
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一休さんみたいな質問かも分かりませんが、
高度な数学だとひょっとして答えがある
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よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

こんばんは。
立体角ですね。

「度」ではなく、「ラジアン」の考え方を使うことになっています。

平面上に半径r=1の円(の輪郭)を描いて、原点にirosunさんがいる状況を考えましょう。
全方向に相当するのは、輪郭の長さ、つまり円周の長さですから、
全方向を表す角度は、2π×1=2πであるわけです。
(2π は 360度に相当)

立体角の場合は、
半径r=1の球(の表面)を考えます。
そして、原点にirosunさんがいる状況を考えましょう。
全方向に相当するのは、球の表面積です。
球の表面積は、4πr^2 なので、r=1であれば、4π。
つまり、立体的な全方向を表す角度(立体角)は、4π です。

立体角の単位は、ラジアン(rad)とは呼ばず、ステラジアン(sr)と呼ぶきまりになっています。
全天球は、4π sr です。


蛇足ですが、
2年前に、球の表面積の公式の導出について投稿したことがありましたので、
興味がありましたら、ご覧ください。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2004787.html

こんばんは。
立体角ですね。

「度」ではなく、「ラジアン」の考え方を使うことになっています。

平面上に半径r=1の円(の輪郭)を描いて、原点にirosunさんがいる状況を考えましょう。
全方向に相当するのは、輪郭の長さ、つまり円周の長さですから、
全方向を表す角度は、2π×1=2πであるわけです。
(2π は 360度に相当)

立体角の場合は、
半径r=1の球(の表面)を考えます。
そして、原点にirosunさんがいる状況を考えましょう。
全方向に相当するのは、球の表面積です。
球...続きを読む


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