次の問題について質問させてください。
分数関数f(x))=(ax+b)/(cx+d)の逆関数を求める問題です。
解答は
y=(ax+b)/(cx+d)をxについて解くと
x(cy-a)=-dy+b
すなわちx=(-dy+b)/ cy-a
とあるんですが、ここで質問です。
この場合cy-aで割っているので、cy-a≠0を示す必要があるのではないですか?
問題文には特に示されていないのですが・・・。
ただ自分で示そうと思っていろいろやってみたのですが、できませんでした…。
それともここでは示す必要はないのでしょうか?
どなたかご存知の方アドバイスをお願いできませんか。よろしくお願いいたします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
>逆関数を求める段階では、cx-a≠0とはいえないような気がします
いえるんですよ.
y=(ax+b)/(cx+d)は y=a/c は絶対にありえません.
少し式を変形します
y = ( (a/c) (cx+d) -ad/c +b ) / (cx+d)
= (a/c) + A/(cx+d)
A = -ad/c +b
と表せます.A/(cx+d)は
xが定義域中のどんな値をとっても0には
なりません
つまりy=a/cは起こりえないのです.
こんな計算をしなくても,
グラフを考えれば一目瞭然でしょう
分数関数の場合
漸近線には近づくだけで点を共有することは
ありません.
したがって,解答のように
やってしまってかまわないのですが
気になるのであれば,
問題がない旨を答案に書けばいいのです
むしろ,書いた方が
採点者に「わかって書いてるんだぞ」という
主張になります.
ちなみに本当にめんどくさいのは
「関数f(x)=(ax+b)/(cx+d)の逆関数を求めよ」
という問題です.「分数」の文字が消えただけですが
めんどくささ倍増です.とけますか?
同様の問題に
「方程式ax^2+bx+c=0の解を求めよ」
ってのがあります.
kabaokabaさま、ご回答ありがとうございます。
解読にかなり時間がかかってしまいました。
で、やっとわかりました。y=a/cは漸近線だったのですね。式変形のところもなにをどう変形してなんのために?と思ったのですが、ただ割っただけだったのですね。いやでも、y=a/cがすぐに漸近線だとどうしてわかったのでしょうか?私もまだまだ勉強がたりません。ありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
x=(-dy+b)/ cy-aという関数の形式から、yの定義域にa/cは含まれませんので、結果として問題はなさそうです。
完璧な回答をめざそうとするのであれば、関数という切り口ではなく、代数学的に、cy-a=0の場合とそうでない場合で場合分けをすればいいと思います、、、 と思いましたが、題意からcy-a=0とは、なり得ないことが背理法により示せました。
仮にcy-a=0と仮定すると、cy=a
ここで、仮にc=0ならa=0で、f(x)≡b/dとなり、逆関数を求めるという題意に反する。
∴c≠0…(1)
よって、cy=a⇔y=a/c…(2)
また、 x(cy-a)=-dy+b ⇔ dy=b
同様に、ここで、仮にd=0ならb=0で、f(x)≡a/c(xの定義域はx≠0)となり、逆関数を求めるという題意に反する。
∴d≠0…(3)
よって、dy=b⇔y=b/d…(4)
(2)、(4)⇒a/c=b/d⇒ad=bc…(5)
ところで、(1)、(3)より、
f(x)=(b/d){(adx+bd)/(bcx+bd)}(∵(3))
=(b/d){(bcx+bd)/(bcx+bd)}(∵(5))
=b/dで、
f(x)≡b/dとなり、逆関数を求めるという題意に反する。
以上から、cy-a=0の場合はあり得ない、
すなわち、c・f(x)-a=0となるxは存在しない。
(q.e.d)
これなら、f(x)=a/cが値域にないことを直接証明した方が早い気がしてきましたが、このようなところでいかがでしょうか?
YomTMさま、早速ご回答いただきありがとうございました。
ですが、「 x=(-dy+b)/ cy-aという関数の形式から、yの定義域にa/cは含まれません」とのことですが、残念ながら、この意味がわかりません。No.1さんもそのようにおっしゃっていましたが、私の勉強不足でわかりません。この「関数の形式から」ということはどういう意味でしょうか?この関数の形式でもy=a/cの可能性はあると思うのですが・・・。申し訳ありませんが、より詳しく教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。
No.1
- 回答日時:
>>cy-a≠0を示す必要があるのではないですか?
示す必要はありません。
f(x)=(ax+b)/(cx+d)はx=-d/cにおいては定義されないのと同様に、f^(-1)(x)=(-dx+b)/(cx-a)はx=a/cにおいては定義されない、というだけのことです。
springsideさま、ご回答ありがとうございます。
ですが、「f(x)=(ax+b)/(cx+d)はx=-d/cにおいては定義されないのと同様に、f^(-1)(x)=(-dx+b)/(cx-a)はx=a/cにおいては定義されない、というだけのことです。」とのことですが、「f(x)=(ax+b)/(cx+d)はx=-d/cにおいては定義されない」はわかりますが、逆関数を求める段階では、cx-a≠0とはいえないような気がします。もともとf^(-1)(x)=(-dx+b)/(cx-a)とあれば、x=a/cにおいては定義されない、といえると思うのですが・・・。
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