ラプラス方程式の境界値問題

∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 + ∂^2u/∂z^2 = 0 　in Ω

∇u・n = 0　　on Ωの境界　（　nは境界の外向き法線ベクトルです）


Ωを3次元空間内の有界領域としたときに、上のラプラス方程式の境界値問題の解はなぜ1つではないんでしょうか？

すいませんが教えてくれませんか？

No.1 回答者： guuman 回答日時： 2006/08/01 06:23

u(x,y,z)+Cも解ですから

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#20644 回答日時： 2006/09/19 00:23

ラプラスの方程式の解には、三角関数が現れ、その倍振動も境界条件を満たし、それら全て、無限の倍振動の一次結合が解となるためです。

例えば、解に A・exp(i・k_x・x) という項が現れたとすると、
A・exp(i・n・k_x・x）　(n=2,3,…) も解です。
なお、∇u には、大きさ √(k_x^2+k_y^2+k_z^2) のベクトルが現れますが、このベクトル k と、境界における、成分が x、y、ｚ の位置ベクトルは直交、つまり、k_x・x+k_y・y+k_z・z=0 の条件を満たします。

No.3 回答者： noname#20644 回答日時： 2006/09/19 01:06

なお以下を、一部訂正します。

なお、法線方向には、大きさ √(k_x^2+k_y^2+k_z^2) のベクトルが現れますが、このベクトル k と、境界におけるベクトル ∇u の成分 ∂u/∂x、∂u/∂y、∂u/∂ｚ が直交、つまり、k_x・∂u/∂x+k_y・∂u/∂y+k_z・∂u/∂z=0 の条件を満たします。