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問題は、「SH波の表面での反射では、表面の変位は入射波の変位の2倍になる。このことを証明せよ」です。
要は下記を参考に、ui+ur=2uiというのを証明すればいいみたいです。
入射波 ui=Aiexpiω{t-(xsini-zcosi)/V1}
反射波 ur=Arexp{t-(xsini+zcosi/V1}
※iは入射角(=反射角)です。ui,Aiのiは添え字です。
で一応私は次のように解いていきました。
ui+ur
=e^(iω)[Aiexp{t-(xsini-zcosi)/V1}+Arexp{t-(xsini+zcosi)/V1]
=e^(iω)[Ai・(e^t)・{e^(-xsini/V1)}・{(e^(zcosi/V1)+Ar・(e^t)・{e^(-xsini/V1)}・{e^(-zcosi/V1)}]
=e^(iω)[Ai・(e^t)・{e^(-xsini/V1)}・{(e^(zcosi/V1)+RAi・(e^t)・{e^(-xsini/V1)}・{e^(-zcosi/V1)}] ※R(反射係数)=Ar/Ai
=Ai{e^iω(t-xsini/V1)}{(e^zcosi/V1)+R(e^-zcosi/V1)}
=Ai{e^iω(t-xsini/V1)}(1+R)
というところまで、自分の勘でやってみたのですが、やっぱり2uiになりません。1+R=T (※T(透過係数)=At/Ai) という式もあるようですが、この問題に役に立つのかわかりません。どなたか、ui+ur=2uiを示せる方、ご指導よろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
No1の補足に書いてある式はちょっと違いますね。
∂(ui+ur)/∂z
=iωAicosi/V1・expiω{t-(xsini-zcosi)/V1}-iωArcosi/V1・expiω{t-(xsini+zcosi)/V1
となりますので、ここで境界条件を考慮します。x=0,z=0で上式の右辺が0ですから、
(Ai-Ar)iωcosi/V1・expt=0
となりますね。ω,cosi,exptは0ではない(cosi=0なら入射角が90度になってしまいますから変ですよね)ので、
Ai-Ar=0
となるのです。
この回答への補足
なるほど。そして、自分なりに噛み砕いて、以下のように解いてみたのですが、これでよいのでしょうか?
∂(ui+ur)/∂z
=∂[Aiexpiω{t-(xsin/V1)+(zcosi/V1)}+Arexpiω{t-(xsini/V1)-(zcosi/V1)}]/∂z
=(Aiiωcosi/V1)expiω{t-(xsini-zcosi)/V1}-Ariωcosi/V1expiω{t-(xsin+zcosi)/V1}
ここで境界条件はx=0,z=0なので
∂(ui+ur)/∂z
=Aiiω(cosi/V1)expiωt-Ariω(cosi/V1)expiωt
=(Ai-Ar)iω(cosi/V1)expiωt=0
∴Ai-Ar=0
よってAi=Ar…(1)
反射した点ではx=0,z=0となるので
ui=Aiexpiωt
ur=Arexpiωt
ui+ur
=(Ai+Ar)expiωt
=2Aiexpiωt
=2ui
よってSH波の表面での反射は、入射波の変位の2倍になる。
No.1
- 回答日時:
入射波はそれで良いですが、反射波のexpの指数部分にiωが抜けていますね。
正確には、ur=Arexpiω{t-(xsini+zcosi)/V1}ではないですか?ui+urの計算を長々と行っていますが、これでは何も進展しませんね。ここで、大切なことは、「境界条件」です。SH波の場合、境界面での境界条件は、z方向(境界面に垂直な方向)の応力テンソルの成分が0であることです。
計算すべきことは、ui+urをzで偏微分して、それを0と等値します。境界面面では、x=0,z=0ですから、(Ai-Ar)iωcosi/V1=0となりますので、Ai=Arが導かれます。また、ui+urの境界面での値は明らかに、(Ai+Ar)expiωtですよね。だから入射波の2倍になるのです。
この回答への補足
iωが抜けていました。失礼しました。
回答ありがとうございます。
さっそく計算してみたのですが、x=0,Z=0より、(Ai-Ar)iωcosi/V1=0となるところがよく分かりません。そしてなぜその式から、Ai=Arが分かるのか分かりません。
一応ご回答を参考に下記のように計算してみたのですが、行き詰まってしましました。
∂(ui+ur)/∂z=0
境界面ではx=0,z=0なので
∂(Aiexpiωt+Arexpiωt)/∂z=0
∂(Ai+Ar)expiωt/∂z=0
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