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(b)が成立するとし,
limf(xn) (n→∞) = M < ∞
とします.
ε-N論法で書くと,
「任意のε>0に対し,ある自然数n0が存在し,n≧n0を満たす任意の自然数nに対して,|f(xn)-M|<ε」… (1)
εは文字通り任意ですので,例えばε=1とかに固定します.
(1)より,やはりある自然数n0が存在し,
n≧n0を満たす任意の自然数nに対して,|f(xn)-M|<1
が成立します.
よって,任意のn≧n0に対しては,
f(xn)<1+M
が成立するので,
任意のnに対しては
f(xn)≦ max[1+M,x1,x2,…,xn0] < ∞
となって,数列f(xn)が上に有界であることがわかります.
さて,任意のx∈(a,b)に対して,lim xn=b ですから,ある
nが存在して,x≦xnなります.fは単調増加関数ですから,
f(x)≦f(xn) < ∞
となり,fはI=(a,b)上で,上に有界であることが示されました.
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