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(a)→(b)の証明はできたのですが、(b)→(a)の証明ができません。誰か教えてください。

f(x)はI=(a,b)で定義された単調増加関数{xn}は、a<x1<x2<・・・<xn<xn+1<・・・<b ,limxn=b (n→∞)を満たす数列とする。このとき、以下の二つは同値である。
(a) f(I)は上に有界である
(b)有限な極限値limf(xn) (n→∞)が存在する。

A 回答 (1件)

(b)が成立するとし,


limf(xn) (n→∞) = M < ∞
とします.
ε-N論法で書くと,
「任意のε>0に対し,ある自然数n0が存在し,n≧n0を満たす任意の自然数nに対して,|f(xn)-M|<ε」… (1)
εは文字通り任意ですので,例えばε=1とかに固定します.
(1)より,やはりある自然数n0が存在し,
n≧n0を満たす任意の自然数nに対して,|f(xn)-M|<1
が成立します.
よって,任意のn≧n0に対しては,
f(xn)<1+M
が成立するので,
任意のnに対しては
f(xn)≦ max[1+M,x1,x2,…,xn0] < ∞
となって,数列f(xn)が上に有界であることがわかります.

さて,任意のx∈(a,b)に対して,lim xn=b ですから,ある
nが存在して,x≦xnなります.fは単調増加関数ですから,
f(x)≦f(xn) < ∞
となり,fはI=(a,b)上で,上に有界であることが示されました.
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この回答へのお礼

ありがとうございます。とてもわかりやすくてたすかりました。本当にありがとうございました。

お礼日時:2007/07/26 00:06

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