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熱物理学で調和振動子の平均エネルギーU=<ε>について。

U=hω/(exp(hω/τ)-1)はどうやって求めるのでしょうか?

解りません。調和振動子なので、縮退度は1、エネルギーE=(0,1,2,・・∞)分配関数Z=1/(1-exp(-hω/τ))ですよね?

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A 回答 (3件)

ANo.1さんのご回答で良いと思いますが、詳しく説明してみますね。



調和振動子のエネルギーは普通は、

ε(n) = hω ( n + 1/2 )

ですが、結果の式から逆算して、零点振動のエネルギー hω/2 を考えないことにしているみたいですね。そこで、

ε(n) = hω n

で考えます。(n = 0,1,2,… ∞、h は hバーの意味)

正準分布で、その実現確率 p(ε) は、

p(ε) = e^{-ε/τ}/Z = e^{-βε}/Z

になります。β=1/τ=1/(k_B T)

Z = Σ_{n=0}^{∞} e^{-ε(n)/τ}
= 1/(1 - exp(-hω/τ)) = 1/(1-exp(-βhω))

は分配関数です。

調和振動子の平均エネルギーは、

U = <ε> = Σ_{n=0}^{∞} ε(n) p(ε(n))

となるのは良いですね。確率と期待値の関係です。

正準分布の確率の式を代入すると、

U = (1/Z) Σ_{n=0}^{∞} ε(n) exp(-βε(n))
 = - (1/Z) ∂/∂β [Σ_{n=0}^{∞} exp(-βε(n))]
 = - (1/Z) ∂Z/∂β
 = - ∂(log Z)/∂β

と書けます。これがANo.1さんのご回答にある式です。
よく使う式なので覚えておくとよいです。

そして具体的に代入してみると、

U = ∂/∂β log(1-exp(-βhω))
 = +hω exp(-βhω)/(1-exp(-βhω))
 = hω/(exp(-βhω)-1)

と求まります。
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この回答へのお礼

わかりやすい説明ありがとうございました。

お礼日時:2007/09/21 18:00

ANo.2です。



最後のところ、

U = hω/(exp(-βhω)-1)

がミスプリで、正しくは、

U = hω/(exp(βhω)-1)

です。わかると思いますが念のため。
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平均エネルギーの式



<E> = -d/dβ(logZ)   (β= 1/τ)

で出ると思います。
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どうかお願いします。

Aベストアンサー

>状態というのが量をもっているわけなんですが
>状態というのはどういう量なんですか?
すでに、siegmund さんが書かれておられるように
エネルギー e_i の状態の実現確率がボルツマン因子 exp(-βe_i) に比例します。
このあたりの手順は統計力学の教科書に載っていると思います。
少し混乱しておられるようなので、簡単な例を出してみます。

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>一個に対する状態和?
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あとは、先のさいころの例と同様に
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e_1 の状態にある確率が exp(-βe_1)
   :
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この質問とは関係ないですが、
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>状態というのが量をもっているわけなんですが
>状態というのはどういう量なんですか?
すでに、siegmund さんが書かれておられるように
エネルギー e_i の状態の実現確率がボルツマン因子 exp(-βe_i) に比例します。
このあたりの手順は統計力学の教科書に載っていると思います。
少し混乱しておられるようなので、簡単な例を出してみます。

さいころを1個振ることを考えてみます。
さいころの目がX(x=1~6)になる確率を P(x) とすると、
1の目が出るという状態の実現確率は P(1) などというよう...続きを読む

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Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
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と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
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*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
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Q狙撃のときに働くコリオリの力について教えてください。

こんばんは。
銃弾に働くコリオリの力を簡単に計算するにはどうすればいいですか?

ご回答おねがいします。

Aベストアンサー

ここのサイトがメチャ詳しい。

http://www.bekkoame.ne.jp/~bandaru/detaj003.htm

ただ、ここの様々な弾道計算要素を全部見て貰ったらわかるけど、距離1キロ、飛翔時間1秒台では、コリオリ力は最大限にサバを読んでも5ミリにも満たない。それ以外で、メートル単位の誤差が簡単に出る要素の方が遙かに多い。

よって、ゴルゴ13や攻殻機動隊のエピソードのような、せいぜい数倍のスコープでインサイトで射撃できる範囲の「銃」においては、コリオリ力は「無視」してよい対象で、これらの漫画/アニメの話は純粋なフィクションです。

Qブラッグ法則からの回析角の求め方

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この問題の解き方がわかりません。教えてください。

Aベストアンサー

(100),(111),(200),(210)面の面間隔がわかればよいでしょう。
格子定数aの立方格子の場合、(hkl)面の面間隔dは
d=a/√(h^2+k^2+l^2)
です。(なぜそうなるのかは教科書に書いているはずです)

>なぜ(100)反射は現れないかを考えよ。
fcc構造の場合、h.k.lにある関係がないといけません。
結晶構造因子を原子散乱因子を使いあらわしてみると明らかになります。

Qブラッグの式で使われるn次反射について

ブラッグの式で使われるn次反射についてお聞きしたいのですが、
nは1からあるようなのですが、いまいちn次反射についてわかりません。
n次反射について詳しく教えていただけないでしょうか?

Aベストアンサー

ブラックの反射式は
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(d:面間隔,θ:入射角,λ:波長)
ですね。
nは2d sinθが波長(λ)何個分に相当するかを示した数値です。そのままですね。
あるθ1とθ2で反射ピークを観測したとします。
その時、2d sin θ1=λ、2d sin θ2=2λ
を満たすとき、θ2に現れた反射ピークはθ1で観測した反射ピークの2次反射であるといいます。
高次反射は必ず発生しますが、nが大きくなればなるほど広角になるので反射強度が弱くなり観測が難しくなります。

余談ですが、このn値は逆格子上の指数?(h,k,lの最小公倍数の倍数)と一致します。X線主体の本はこれで説明することが多いようですが、実格子と逆格子を併用してイメージするのはかなり難しいと思います。逆格子は解析するには便利なツールですが、これで現象を理解する事はかなり難しいと思います。

Qコリオリの力 赤道から北極に向けて砲弾打てば?

コリオリの力の説明は
 まず、「北極から赤道に砲弾を打てば、右にまがる。」これはよく分かるのですが、次に「よって、北半球では、『進行方向の右向き』にまがる。」とあります。
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Aベストアンサー

勿論,右に曲がります。

理由はコリオリ力が働く原理が分かれば簡単です。赤道付近は周速度が一番大きいのに対し、高緯度になるに従い周速度が小さくなり、極では0になります。

地球の回転速度は一定ですから、周囲の長さが長いほど、周速度が速くなるのは分かりますね。

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Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
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(日本語)
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そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q体心立方格子

体心立方格子の(110)面と<111>方向の原子密度を計算したいのですが、計算の仕方がわかりません。

教えていただけると幸いです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

格子定数を a とします。

<111>方向では、長さ √3 a 当たりに2個の原子があります。
(110)面には、面積 √2 a^2 当たりに2個の原子があります。

これでどうでしょうか。

Q図形の中心の取り方を教えてください。

現在プログラミングで困っています。
そのプログラミングというのは、
『ビットマップ画像(640×480pixel)中に表示された図形の中心を求める』
というプログラムです。

中心を求めたい図形は、以下の特徴を持っています。
・大きさは一定ではない。10×10~20×20pixelの大きさ。
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・輝度は255。

この図形の中心を求めるには、どのようにプログラムを組めば良いのでしょうか。
みなさんのアドバイスをよろしくお願い致します。

また、私はプログラミングについてはほぼ初心者なので、詳しい説明をして頂けると助かります。
お手数なのですが、よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

#1 さんの方法では重心は求まりません.

> 1.水平線を引き、したから上に移動する。上下の図形のピクセル数が等しくなったらとめる。
> 2.垂直線を引き、左から右に移動する。左右の図形のピクセル数が等しくなったらとめる。

これらは重心を求めているのではなく,面積を縦横それぞれについて2等分しているだけです.

重心は面積を2等分する点ではなくて,そのまわりの1次モーメントが釣り合う (0になる) 点です.

重心を求める (物理のかぎしっぽ)
http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/CG/

2次元での一般的な重心 (Xg, Yg) の定義は,
位置 (x, y) の密度を ρ(x, y) とすると,

・質量
 M = ∫∫ρ(x, y) * dx * dy

・Xの (つまりY軸まわりの) 1次モーメント
 Ix = ∫∫ρ(x, y) * x * dx * dy

・Yの (つまりX軸まわりの) 1次モーメント
 Iy = ∫∫ρ(x, y) * y * dx * dy

・重心
 Xg = Ix / M
 Yg = Iy / M

画像処理でいう「重心」は,密度の代わりに輝度 (画素値) p(x, y) を使うので,

 M = Σ{x} Σ{y} p(x, y)
 Ix = Σ{x} Σ{y} p(x, y) * x
 Iy = Σ{x} Σ{y} p(x, y) * y

質問文中の「輝度は255」というのは,たぶん二値画像で
「輝度は0または255」ということだと思います.
その場合には次のようにすれば無駄な計算をせずに重心が求められます.

 M = (輝度=255の画素数)
 Ix = Σ{輝度=255の画素} x
 Iy = Σ{輝度=255の画素} y

今は時間がないのでこの辺で.
あとは自分で考えるか,他の方の回答を待ってください.


QNo.3233875:濃淡画像の縦方向のゆがみを求めたいのですが・・
http://okwave.jp/qa3233875.html

#1 さんの方法では重心は求まりません.

> 1.水平線を引き、したから上に移動する。上下の図形のピクセル数が等しくなったらとめる。
> 2.垂直線を引き、左から右に移動する。左右の図形のピクセル数が等しくなったらとめる。

これらは重心を求めているのではなく,面積を縦横それぞれについて2等分しているだけです.

重心は面積を2等分する点ではなくて,そのまわりの1次モーメントが釣り合う (0になる) 点です.

重心を求める (物理のかぎしっぽ)
http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/CG...続きを読む


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