接平面の方程式の求め方。

z=x^2+y^2の定める曲面上の点P(-1,-1,2)における接平面の方程式を
求める問題なのですが・・・
このような問題の場合、はじめに何をすればいいのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： kony0 回答日時： 2002/08/17 14:01

とおる点は与えられていますから、あとは平面の法線ベクトルを求めればOKですよね？

法線ベクトルの一般的な求め方は私にはわからないので他の方にゆだねます。(^^;)
私は、曲面を平面で切った図形について、接線を求めることをやろうかな？と考えます。これで２つの接線ベクトルを求めれば、そのいずれにも垂直なベクトルを求める（外積利用で一発）ことによって、法線ベクトルは作れますから。

求める曲面をx=-1で切断すると、z=y^2+1
これの(y,z)=(-1,2)における接線はz=-2y→接線ベクトルの成分は(0,1,-2)
よって、法線ベクトルは成分が(0,1,-2)のベクトルに垂直
同様にy=-1で切断して考えると、法線ベクトルは成分が(1,0,-2)のベクトルに垂直
よって、法線ベクトル=(0,1,-2)×(1,0,-2)=(-2,-2,-1)
従って、求める接平面は-2(x+1)-2(y+1)-(z-2)=0→2x+2y+z=-2

No.3 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2002/08/17 23:06

[参考別解](外微分の話を既に知っていれば...[詳細はものの本でご覧ください])

z=x^2+y^2
⇔x^2+y^2-z=0
これを微分すると
2x・dx+2y・dy-dz=0

これはベクトル(2x,2y,-1)と平面の任意の接ベクトル(dx,dy,dz)の内積=0を示し, 曲面上の任意の点(x_0,y_0,z_0)での法線ベクトルが(2x_0,2y_0,-1)に平行であることを示します.

すると, 点P(-1,-1,2)における法線ベクトルの1つが (-2,-2,-1)//(2,2,1) より(2,2,1)と取れることより, 接平面の方程式は
(2,2,1)と(x-(-1),y-(-1),z-2)=(x+1,y+1,z-2)の内積=0より

2(x+1)+2(y+1)+(z-2)=0
⇔2x+2y+z+2=0

No.2 回答者： Mell-Lily 回答日時： 2002/08/17 16:35

　C:z=x^2+y^2

まず、曲面Cの方程式をx,yについて偏微分します。
　dz/dx=2x, dz/dy=2y.
よって、点P(-1,-1,2)における偏微分係数は、
　dz/dx|(x=-1)=-2, dz/dy|(y=-1)=-2.
したがって、曲面Cの点Pにおける接平面は、ベクトル
　(1,0,-2), (0,1,-2)
に平行。ゆえに、接平面上の点を(x,y,z)とすれば、
　(x,y,z)=s(1,0,-2)+t(0,1,-2)+(-1,-1,2)=(s-1,t-1,-2s-2t+2)
　∴ x=s-1, y=t-1, z=-2s-2t+2
　∴ s=x+1, t=y+1, z=-2s-2t+2
　∴ z=-2(x+1)-2(y+1)+2=-2x-2y-2
　∴ 2x+2y+z=-2 … (Ans.)