2つの平行な超平面間の距離の求め方

こんにちは。

S:={(x_1,x_2,…,x_n);Σ[i=1..n]a_i x_i = b_1}
と
T:={(x_1,x_2,…,x_n);Σ[i=1..n]a_i x_i = b_2}
(x_1,x_2,…,x_n,a_1,a_2,…,a_n,b_1,b_2∈R)
との距離はどうすれば求めれるのでしょうか?

距離はmin{∥s-t∥;s∈S,t∈T}の事だと思います。

No.3 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/10/01 20:58

面倒なので

S := { x | ax = b_1 },
T := { x | ax = b_2 }
とおくことにします. a に平行な単位ベクトルを u = a / ||a|| とします.
S と T の間の距離が d だとすると, S 上の点 x0 に対し x0 + d u ∈ T です. つまり
ax0 = b_1, a(x0 + d u) = b_2
です. よって (a u = ||a||^2 / ||a|| = ||a|| なので)
b_2 = ax0 + a d u = b_1 + d ||a||
だから
d = (b_2 - b_1) / ||a||.
これは「符号の付いた」距離であり, (符号のない) 普通の距離としてはこの絶対値をとった
d = |b_2 - b_1| / ||a||
になります. やってることは「点と超平面との距離」と同じですね.

この回答へのお礼

解決できました。
大変有難うございます。

お礼日時：2007/10/04 10:46

No.4 回答者： noname#57316 回答日時： 2007/10/01 21:12

>"法線方向の単位ベクトル"と"平面上のある点と任意の点との差"との内積が一定なの

>ではないですかね。
ちょっと端折った書き方をしたので、混乱されたようですみません。
"「原点を起点とする」法線方向の単位ベクトル"と"平面上の任意の点の位置ベクトル
（当然「原点を起点」としています）”の内積が一定、つまり、三次元では
平面内のどの点であっても、位置ベクトルの法線方向成分が一定、
ｎ・r=n_x・X+n_y・Y+n_z・Z=b（一定）になると考えられます。

>> S、Tの両式を超平面の標準方程式に変形し差を取ればよい
>> と思います。
>> つまり、|b_1－b_2|/∥a_i∥
Σ[i=1..n]a_i・x_iというベクトルが単位ベクトルであれば、∥a_i∥=1ですが、一般性を持たせ
そうでない場合も含め、単位ベクトルとするために式全体を∥a_i∥で割るのです。
このようにして得られる値は、原点から平面までの距離を表わすので、Ｓ、Ｔなる二つの面間
距離は、その差として表わされるという訳です。

この回答へのお礼

解決できました。
大変有難うございます。

お礼日時：2007/10/04 10:50

No.2 回答者： noname#57316 回答日時： 2007/09/30 09:33

平面の式は、法線方向の単位ベクトルと、平面上の任意の点の位置ベクトルの内積が一定

として定められるので、S、Tの両式を超平面の標準方程式に変形し差を取ればよい
と思います。
つまり、|b_1－b_2|/∥a_i∥

この回答へのお礼

御回答有難うございます。


> 平面の式は、法線方向の単位ベクトルと、
> 平面上の任意の点の位置ベクトルの内積が

位置ベクトルではなく,

"法線方向の単位ベクトル"と"平面上のある点と任意の点との差"との内積が一定なの
ではないですかね。

つまり、R^3では(x0,y0,z0)を平面π上のある点とし、任意の点を(x,y,z)とし、法線方向の
単位ベクトルを(a,b,c)とすると平面の方程式は
a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0
ですよね。


> S、Tの両式を超平面の標準方程式に変形し差を取ればよい
> と思います。
> つまり、|b_1－b_2|/∥a_i∥

うーんと、これはどうして言えるのでしょうか?
R^3の場合、
ax+by+cz=d
ax+by+cz=d'
だと
|d-d'|/∥(a,b,c)∥
が距離を表しているんですよね。
どうしてこれが距離を表していると分かるのでしょうか?

お礼日時：2007/09/30 23:37

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2007/09/30 04:23

ラグランジュの乗数法が使えると思います。

x'=(x1',...,xn')を定数として
f=∥x-x'∥, g=(Σ[i=1..n]a_i x_i - b_1)
f-λgを計算します。得られた式を２乗して和をとれば
1=(λ^2)(a1^2+...an^2).
またaiを掛けて和を取れば(b1-b2)/∥x-x'∥=λ(a1^2+...an^2).
この２式より∥x-x'∥が得られます。これが最小値であることは多分？明白と思います。

この回答へのお礼

解決できました。
大変有難うございます。

お礼日時：2007/10/04 10:43