指数対数の問題が分かりません

　正の定数 a に対して 5・2^(-x) + 2^(x+3) = 2a を考えたとき、

(1)この方程式が、異なる２つの解をもつような、定数aの値の範囲を求めよ。
(2)この方程式がただ１つの解をもつときの定数aの値を求めよ。また、そのときの解xを求めよ。

　という問題なのですが・・・。

　2^x = t と置き換えて方程式をaイコールの形に直してみたり、両辺に対数をとってみたり、
いろいろ考えてはみたのですが、何をどうしていいのかさっぱり分かりません。

　数学は苦手なので、どうか易しい解説をしていただけないでしょうか。

　よろしくお願いいたします。

No.1 回答者： abyss-sym 回答日時： 2007/11/04 11:23

5・2^(-x)+2^(x+3)=2a

2^x=t と置いて, 5・1/t+2^3・t=2a
両辺をt倍して, 5+8t^2=2at
移項して, 8t^2-2at+5=0
これで,判別式を使いましょう。
そうすれば答えは出てくると思います。

(2)も同様です。判別式を使います。
判別式で,ａの値を求めて,式に代入して二次方程式の問題にします。
あとは因数分解してｔの値を出して,
さらに, 2^x=t の式から x の値を求めればできます。

この回答へのお礼

　ご回答、ありがとうございます。

　なんだか一目見ただけで全てが見えてしまっているかのようで、

回答者様は本当に素敵だと思いました。

　今朝、判別式を使おうとしたら、間違って解の公式を使ってしまったりしていました。

　何だか頭がおかしくなっていたようです。

　冷静に計算したら答えが合いました。

　本当に、ありがとうございました！

お礼日時：2007/11/04 17:21

No.2 回答者： kumipapa 回答日時： 2007/11/04 12:46

＞　2^x = t と置き換えて方程式をaイコールの形に直してみたり・・・

うーん、単にちょっと混乱しちゃっただけでは？

2^x = t と置き換えれば、
5/t + 8t = 2a
t＞0 だから両辺をt倍してよいので、
8t^2 - 2at + 5 = 0
このtの２次方程式が t＞0 の範囲で
（１）異なる２つの実数解
（２）ただ一つの実数解
を持つようにaを定めれば良いのでしょう。
その実数解から、x=log(2)t

f(t) = 8t^2-2at+5とおくと、t→0 で f(t)＞0、放物線y=f(t)の軸は t=a/8 ＞ 0 なので、方程式 f(t)=0 の t＞0 での実数解の数は単純に判別式で判断して良いですね。
あとは解を求めて x=log(2)t を求めるだけです。

または、

2^x = t と置き換えて
5/t + 8t = 2a
左辺 y = 5/t + 8tとおいてグラフを書いてみましょう。
yの増減を調べると、t→0でy→∞、0＜t＜(√10)/4 でyは減少、t = (√10)/4でｙは極小（極小値は y = 4√10 ）、(√10)/4＜tでyは増加、t→∞でy→∞
ですから、
2a ＞ 4√10 (a＞2√10) のとき　5/t + 8t = 2a　はt＞0の範囲で２つの異なる実数解
2a = 4√10 (a=2√10) のとき　5/t + 8t = 2a　はt＞0の範囲で一つの実数解 t = (√10)/4、
を持つことが分かります。

先の解き方の方が楽ですが、後ろの解き方の方が問題の様子は分かり良いかもしれませんね。

この回答へのお礼

＞うーん、単にちょっと混乱しちゃっただけでは？

　すみません。自分でも、バカだったな・・・と反省しています。

　丁寧なご回答、ありがとうございます。

　実際に計算してみたのですが、答えが合ってほっとしています。

　ありがとうございました！

お礼日時：2007/11/04 17:15

No.3 ベストアンサー 回答者： 0lmn0lmn0 回答日時： 2007/11/04 13:32

>>　正の定数 a。

>>　5・2^(-x) + 2^(x+3) = 2a

<・>=<*>

(1)
>>　2^x = t ＞０

　　　5(1/t)+8t-2a=0
　　　5+8(t^2)-2at=0
　　　8(t^2)-2at+5=0

　　t ＞０より、ｔは２つの正の解。
　　形から見て、判別式だけで充分。

　　　(a^2)-40＞０
　　　 a＜-2√10, 2√10＜a
a＞0

　　　解は、2√10＜a

(2)
重解をもてばよいので、判別式がゼロ。
　　　(a^2)-40＝０、a＞0　より、
　a=2√10

この時tは、
　　　8(t^2)-4√10t+5=0
　((2√2)^2)(t^2)-2*(2√2)*√5*t+((√5)^2)=0
　( (2√2)t-√5 )^2=0
　　　　　t=√5/2√2=√10/4

または、普通に解の公式で、
　　　　　t=4√10/16=√10/4

2^x = t　だから、
　　2^x = √10/4
　　　２を底として、両辺の対数をとると、
　　　x=log[2](√10/4)
　　　　=log[2](√10)-log[2]4
　　　　=(1/2)log[2]10－２

または、log[2]10も変形して、
　　　x=(1/2)log[2]2+(1/2)log[2]5－２
　　　　=(1/2)+(1/2)log[2]5－２
　　　　=(-3/2)+(1/2)log[2]5

この回答へのお礼

　大変丁寧なご回答、ありがとうございます。

　計算してみたら、答えが合いました！

　回答者様のおかげで理解することができ、とても嬉しいです。

　本当に、ありがとうございました。

お礼日時：2007/11/04 17:12