部分集合の証明

A,Bを集合として以下のことを証明するにはどうすればいいのでしょうか？
(1)A∪B = B ならば A⊆B である
(2)A∩B = A ならば A⊆B である
(3)A-B = {} ならば A⊆B である({}は空集合)

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/12/02 15:37

例えば(1)は A ⊆ A∪B = B

No.2 回答者： dedenden 回答日時： 2007/12/02 15:41

どれも対偶をとれば証明できます。

つまり、「A→B」を証明する
ために、「Bでない→Aでない」を証明すればよいわけです。

どれも、A⊆B でないと仮定する、すなわち、集合AにはBに含まれ
ない要素が含まれていると仮定する。すると、もとの命題が簡単に
否定できます。

No.3 ベストアンサー 回答者： ---------- 回答日時： 2007/12/02 15:42

たとえば、(1)なら、

「xがAの元のとき、xはBの元でもある」
がいえれば、結論が示せますよね。

xがAの元とすると、
AはA∪Bに含まれるから、xはA∪Bにも含まれる。
ここで、仮定より、xはBに含まれることがわかるから、
(1)が示せたことになります。

他も同様に考えればできるはずですよ。