外心と内心、もしくは重心と外心が一致する三角形の証明

三角形の五心について学習中なのですが、
外心と内心、もしくは重心と外心が一致する三角形は正三角形である、
という証明をしてください。お願いします。
当方中学生ですので、中学生か高1ぐらいで学習、理解できる範囲でお願いします。もし中学生には証明不可能でしたら、出来ないと、教えてください。
お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/12/29 23:50

△ABC の外心, 内心, 重心をそれぞれ O, I, G とします.

・O = I:
O から辺AB, BC に垂線 OD, OE をひきます. O は外心なので |OD| = |AB|/2, |OE| = |BC|/2 です. 一方, O は内心でもあるので OB は∠ABC の二等分線でもあります. つまり∠OBD = ∠OBE. これで△OBD ≡ △OBE が証明できます. つまり |OD| = |OE| だから |AB| = |BC|. 同様に |BC| = |CA| も成り立つので △ABC は正三角形.
・O = G:
こっちはもっと簡単で, O から AB に垂線をひくと, これは C を通ります. つまり, |CA| = |CB|. 同様に |AB| = |AC| だから正三角形.

この回答へのお礼

ありがとうございます！

重ねて質問すいませんが、||←これは絶対値符号ですか？
これって線分のことですよね？
こういうのは習わないのでわかりませんでした。
すいません、教えてください。

お礼日時：2007/12/30 00:02

No.2 回答者： osaQ 回答日時： 2007/12/30 00:11

別人ですが……

| | は，「長さ」の意味です。
なので，例えば
　 ・|OD| = |AB|/2 → 「線分ODの長さは線分ABの長さの半分」，
　　・|OD| = |OE| → 「線分ODと線分OEは長さが等しい」
などの意味になっています。

この回答へのお礼

ありがとうございます
わかりました！

お礼日時：2007/12/30 00:20