異常積分

どのような場合で、異常積分は存在しなくなるのですか？

例えば、∫[-2,2] dx/xと∫[0,2] dx/x^3と∫[-1,1] dx/x 3^√x
などは存在しないみたいですが・・・

詳しく説明の方を宜しくお願いします＞＜

No.2 ベストアンサー 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/02/06 10:13

広義積分が分かるのなら、

∫[-2,2] dx/x = ∫[-2,0] dx/x + ∫[0,2] dx/x
と積分区間を分割して、
右辺の広義積分が収束するかどうか考えられますね。

lim[a→-0] ∫[-2,a] dx/x ,
lim[b→+0] ∫[b,2] dx/x　が両方とも発散するので、
∫[-2,2] dx/x　は不定形(=存在しない)。

∫[0,2] dx/x^3　は、特異点が積分区間の端にありますから、単なる広義積分です。
lim[c→+0]∫[c,2] dx/x^3　は発散します。

三個目の式は読めないのですが、もし　∫[-1,1] x^(-4/3) dx　の意味ならば、
これも同様に発散します。

似たような形で、収束する積分の例としては、
∫[-1,2] dx/x^(1/3)　などは、どうでしょうか。

∫[-1,2] dx/x^(1/3) = ∫[-1,0] dx/x^(1/3) + ∫[0,2] dx/x^(1/3)
∫[-1,0] dx/x^(1/3) = lim[a→-0] {(3/2)a^(2/3) - (3/2)} = -3/2
∫[0,2] dx/x^(1/3) = lim[b→+0] {(3/2)2^(2/3) - (3/2)b^(2/3)} = (3/2){2^(2/3)}

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/02/05 20:35

>どのような場合で、異常積分は存在しなくなるのですか？

何が聞きたいのか不明です。∫x^α dx くらいでいいの？
一般論を展開しようとするとかなり難しそうですけど。

ちなみに広義積分の定義はわかりますか？

この回答への補足

回答有難うございます。

このような問題です。

次の異常積分は存在するか？存在すれば求めよ
存在しなければ、その事を確かめよ
∫[-2,2] dx/x
∫[0,2] dx/x^3
∫[-1,1] dx/x 3^√x

ただ単に計算する問題です。

大体分かります。

補足日時：2008/02/05 21:03