No.1
- 回答日時:
こんばんは。
中間値の定理を高校数学の範囲で導出は無理ではないかと思います。なぜなら、中間値の定理の証明には『関数の連続性』と『実数の連続性』が必要であり、それらの事柄は高校数学の範囲を超えているからです。ですから、高校の教科書で中間値の定理はグラフを描いて、直感的に説明していると思います。高校生に中間値の定理を教えるのならば、導出を探すよりこの方法がシンプルで理解させやすいと思いますが…。
やはり、実数の連続性が絡んできてしまうんですよね。。。
個人的には中間値あるいは最大値の定理のどちらかを公理的に用いて、シンプルに連関性が示せれば良いかな、と思うのですがやはりこの二つは独立に覚えないといけないのでしょうか。
高校の解析学は厳密性より寧ろ直感を育てることを目的としている様なので、直感的に教えたほうが良いのかも知れませんね。どうもありがとうございました。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
そのようなことを目指したと思われる証明を見かけましたので、
参考URLに挙げておきます。
実数の連続性については、連続関数が閉区間で最大・最小値を持つ
ことを天下りに認めてしまえば、話が済んだことになるようです。
もっとも、収束性の概念自体を定義しない高校数学で、
このような基礎事項を証明したようなフリをすることに
意味があるのかどうかは、大いに疑問です。
個人的感想ですが、#1さんが仰るような図によって
中間値定理に合意し、それを使って、逆に
最大・最小値の定理を証明してしまうほうが、
美しいように思います。
参考URL:http://blog.livedoor.jp/cfv21/math/intvalth.htm
わざわざ証明を張って下さってありがとうございます。
arrysthmia様のおっしゃるとおり、最大値⇒中間値のこの証明はあまり美しくないですね。。。(教えてもらっておいて厚かましいですが、ご容赦ください^^;)
寧ろ中間値の定理から最大値の定理はシンプルに証明可能なのでしょうか?(それとも「それを使って」は「図」にかかるのでしょうか。)
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