ある点からある直線へ降ろした垂線の交点

3次元空間において、3点A,B,Pがあったとします。
A,B,Pの座標はそれぞれ既知で、A(xa,ya,za)　B(xb,yb,zb)　P(xp,yp,zp)と表わされる時に、

（１）線分ABに対して点Pから垂線を下ろすことが出来るかどうかの判定をするには？
（２）垂線と線分との交点の座標を求めるには？

以上の2つのことを行いたいのです。
数学的知識に乏しいため、自力ではなかなか答えに辿り着くことが出来ません。

よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： age_momo 回答日時： 2008/05/03 15:30

>（１）線分ABに対して点Pから垂線を下ろすことが出来るかどうかの判定をするには？

>（２）垂線と線分との交点の座標を求めるには？

両方とも同じですね。ベクトルで考えて見ます。
ベクトル↑AP=(xp-xa,yp-ya,zp-za),ベクトル↑AB=(xb-xa,yb-ya,zb-za)となります。
垂線の足をHとするとベクトル↑AH=k↑AB,↑AB・↑HP=0が成立します。
↑HP=↑AP-↑AH=↑AP-k↑AB
↑AB・↑HP=↑AB・(↑AP-k↑AB)=↑AB・↑AP-k↑AB・↑AB=0
k=↑AB・↑AP/|↑AB|^2
成分で表記すると
k={(xp-xa)(xb-xa)+(yp-ya)(yb-ya)+(zp-za)(zb-za)}/{(xb-xa)^2+(yb-ya)^2+(zb-za)^2}

これを計算して0≦k≦1なら線分AB上に垂線の足Hがきます。つまり、（１）を満足する
ということです。また、kが求まればHの座標は

H:(k*xb+(1-k)xa,k*yb+(1-k)ya,k*zb+(1-k)za)

と定めることができます。

この回答へのお礼

できました！ありがとうございます。

ちなみにどのような勉強を行えばこのような問題を解けるようになるのでしょう・・・？
高校数学の問題集を解くことから始めればいいのでしょうか？

お礼日時：2008/05/03 20:49