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3次元空間において、3点A,B,Pがあったとします。
A,B,Pの座標はそれぞれ既知で、A(xa,ya,za) B(xb,yb,zb) P(xp,yp,zp)と表わされる時に、

(1)線分ABに対して点Pから垂線を下ろすことが出来るかどうかの判定をするには?
(2)垂線と線分との交点の座標を求めるには?

以上の2つのことを行いたいのです。
数学的知識に乏しいため、自力ではなかなか答えに辿り着くことが出来ません。

よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

>(1)線分ABに対して点Pから垂線を下ろすことが出来るかどうかの判定をするには?


>(2)垂線と線分との交点の座標を求めるには?

両方とも同じですね。ベクトルで考えて見ます。
ベクトル↑AP=(xp-xa,yp-ya,zp-za),ベクトル↑AB=(xb-xa,yb-ya,zb-za)となります。
垂線の足をHとするとベクトル↑AH=k↑AB,↑AB・↑HP=0が成立します。
↑HP=↑AP-↑AH=↑AP-k↑AB
↑AB・↑HP=↑AB・(↑AP-k↑AB)=↑AB・↑AP-k↑AB・↑AB=0
k=↑AB・↑AP/|↑AB|^2
成分で表記すると
k={(xp-xa)(xb-xa)+(yp-ya)(yb-ya)+(zp-za)(zb-za)}/{(xb-xa)^2+(yb-ya)^2+(zb-za)^2}

これを計算して0≦k≦1なら線分AB上に垂線の足Hがきます。つまり、(1)を満足する
ということです。また、kが求まればHの座標は

H:(k*xb+(1-k)xa,k*yb+(1-k)ya,k*zb+(1-k)za)

と定めることができます。
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この回答へのお礼

できました!ありがとうございます。

ちなみにどのような勉強を行えばこのような問題を解けるようになるのでしょう・・・?
高校数学の問題集を解くことから始めればいいのでしょうか?

お礼日時:2008/05/03 20:49

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今XYZ空間で、ある2点O(Ox, Oy, Oz)、P(Px, Py, Pz)と2つの平行ではないベクトルU(Ux, Uy, Uz)、V(Vx, Vy, Vz)がわかっています。
この点OとベクトルU、Vで張られる平面に対して、点Pから垂線をおろします。
平面と垂線の交点を求めるにはどのようにすればよいでしょうか?
どなたか力を貸してください。

Aベストアンサー

No.3です。間違っていました。

まず、POとは点Pから点Oへのベクトルです。
そして、Tの定義自体を間違ってました。ここではT=(W・PO)・Wです。
更に、P+TのPは点Pの位置ベクトルのつもりで書きました。

T=(W・PO)・WをT=W・POと書いてしまったのがいけませんでした。

Q点Oから平面ABCへ下ろした垂線の足Hを求める公式

三角形OABがあったとします。点Oから直線ABへ下ろした垂線の足をHとするとき、Hをベクトルを用いて表したいとします。

ベクトルOA=a、ベクトルOB=b、ベクトルOH=hとします。
Hは直線AB上にあるので、実数tを用いて、
h=ta+(1-t)b
とかけます。
OH⊥ABより、内積を用いて、
h・(bーa)=0
これらより、
t=b・(bーa)/|b-a|^2
となり、結局、
h={b・(bーa)/|b-a|^2 }a+{a・(aーb)/|a-b|^2 }b
などと表すことができました。
別のもとめ方として、垂線とは最短線のことなので、h=ta+(1-t)bの自身の内積をとり、tで微分したときの値が0であることからも、tが計算できます。

しかし、これを空間に拡張して、四面体OABCがあったとします。点Oから平面ABCへ下ろした垂線の足をHとするとき、Hをベクトルを用いて表すにはどうしたらよいのでしょうか?

表現方法がすごく煩雑になりそうですが、外積または行列式を用いれば簡単になり、また、さらなるn次元へ拡張した公式も推測できそうな気がするのですが。

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Hは直線AB上にあるので、実数tを用いて、
h=ta+(1-t)b
とかけます。
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これらより、
t=b・(bーa)/|b-a|^2
となり、結局、
h={b・(bーa)/|b-a|^2 }a+{a・(aーb)/|a-b|^2 }b
などと表すことができました。
別のもとめ方として、垂...続きを読む

Aベストアンサー

勝手に面積と決めてしまい、失礼しました。垂線の長さでしたね。
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a、b、あるいはcと単位ベクトルhの内積を取ると求まります。
h={a・(b-a)×(c-a)}/|(b-a)×(c-a)|
分子は、a・(b×c)=[a,b,c]です。
そういえば、分母も|a×b+b×c+c×a|となりますね。
従って、改めて垂線の足をhと書けば、
h=[a,b,c]/|(a×b)+(b×c)+(c×a)| となります。

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例で適当に問題を作ってみたんで教えてください
x-y+3z-1=0,x+2y-z-3=0

どなたか教えていただけませんか?

Aベストアンサー

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>x-y+3z-1=0・・・・(1)
>x+2y-z-3=0・・・・(2)とおきましょう。
(1)(2)より、連立方程式を解いて、x、y、zをそれぞれどれか一つの文字で表していきます。

(1)×2 2x-2y+6z-2=0
(2)   x+2y-z-3=0
------------------------------これを足してみると
      3x+5z-5=0
      x=-5(z-1)/3・・・・(☆)

(1)   x-y+3z-1=0
(2)×3 3x+6y-3z-9=0
------------------------------これらを足し合わせると
      4x+5y-10=0
      4x=-5(y-2)
      x=-5(y-2)/4・・・・(★)

(☆)(★)より、yとzをxであらわせたので、つなげてみましょう。

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もうちょっと整理すると、
x/5 =(y-2)/-4 =(z-1)/-3
となって、これは(0,2,1)を通り、方向ベクトルが(5,-4,-3)の
直線になることを示しています。


方程式が2つあるので、どれか一つの文字で表して、つなげてみるといいですね。
頑張ってください!!

akatukinoshoujoさん、こんにちは。

>x-y+3z-1=0・・・・(1)
>x+2y-z-3=0・・・・(2)とおきましょう。
(1)(2)より、連立方程式を解いて、x、y、zをそれぞれどれか一つの文字で表していきます。

(1)×2 2x-2y+6z-2=0
(2)   x+2y-z-3=0
------------------------------これを足してみると
      3x+5z-5=0
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以上

Aベストアンサー

> 直線式(ax+by+cz=0)の求め方を教えて下さい。
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媒介変数形式で
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A No. 1 です。補足。

「回転行列」
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なお媒介変数表示への直し方は
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QWordで、1ページを丸ごと削除するには?

1ページしか必要ないのに、真っ白な2ページ目がその下に表示されてしまった場合、この余分な2ページ目を一括削除(消去)する為に、何かいい方法があるでしょうか?

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特に罫線で表を作成し、ページの下一杯まで罫線を引いたときなどには、よくなる現象です。

さて、メニューの「表示」で段落記号にチェックが入っていないと、改行や改ページなどの入力情報が見えず、白紙のページを全て選択→削除してもそのままということが良くあります。
1 改行マークが白紙のページの先頭に入っていれば、それをBackSpaceで消してやる。
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Q二平面の交線の方程式

二平面の交線の方程式

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Aベストアンサー

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初歩的なことですが。。急いでいます。
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>でも理屈を理解できていません。
 とりあえず、理屈は後で勉強するとして、有意水準5%で有意差あり(有意確率が0.05以下)であれば、正規分布ではないと結論づけてお終いでいいのではないですか。
>この検定をもっと初心者でもわかりやすく解説しているサイト等ご存じありませんか。
 私が知っている限りでは、紹介したURLのサイトが最も丁寧でわかりやすいサイトでした。
>データの区間を分けるときのルール等ありますでしょうか。
 ヒストグラムを作成する場合、区間距離、度数区分数は、正規的なグラフになるように試行錯誤で行うことが多い(区間距離や度数区分数を本来の分布に則するようにいろいろ当てはめて解釈する。データ個数の不足や、データの取り方、または見かけ上の分布によりデータのばらつきが正しく反映されて見えないことがあるため)のですが、度数区分数は、機械的に、
=ROUNDUP(1+LOG10(データ個数)/LOG10(2),0):エクセル計算式
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=ROUNDUP(データの最低値-区間距離/2,有効桁数)
右端は=ROUNDUP(データの最高値+区間距離/2,有効桁数)
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 区間がと度数区分数が出たら、その範囲にあるデータ数を数えて、ヒストグラムができます。
 
>最小側、最大側は 最小値、最大値を含んだ値としなければならないのでしょうか。
 ヒストグラム作成の処理に関しては、上記を参考にしてください。
 その前に、データの最小値と最大値が、正しくとれたデータか検討するため、棄却検定で外れ値が存在するか否かを検定し、外れ値が存在しないと結論づけられたら、正規分布の検定を行ってみてください。もし外れ値が存在する可能性があれば、そもそも、そのデータの信頼性が失われます。サンプリング手法の再検討(データの取り方に偏りがなかったか、無作為に設定してデータを取っていたか等)をして、再度データを得る必要があります。また、そもそも検定する以前に、データ数が少ないと判断が付かなくなってしまいますので、データ数は十分揃える(少なくとも20~30個)必要もあります。

>機械的に処理してみるとできました。
>でも理屈を理解できていません。
 とりあえず、理屈は後で勉強するとして、有意水準5%で有意差あり(有意確率が0.05以下)であれば、正規分布ではないと結論づけてお終いでいいのではないですか。
>この検定をもっと初心者でもわかりやすく解説しているサイト等ご存じありませんか。
 私が知っている限りでは、紹介したURLのサイトが最も丁寧でわかりやすいサイトでした。
>データの区間を分けるときのルール等ありますでしょうか。
 ヒストグラムを作成する場合、区...続きを読む


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