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電気磁気学の無限長同心円筒に関する問題がわからなくて困っています

締切済

  • 質問者：araiteru
  • 質問日時：
  • 回答数：3件

内径a[m]、外形b[m]の無限長同心円筒があり、両円筒間の電位差はＶ[V]である。今、b、Ｖを一定とし、aが変化するとき、内側導体表面での電界の強さが最大となるaと、そのときの電界の強さを求めよ。
という問題なのですがどうしてもわかりません。
どうかご教授お願いいたします。

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A 回答 (3件)

No.3

  • 回答者： foobar
  • 回答日時：

（課題の丸投げに相当して削除対象かなあ、、、）



まず訂正。
電界の最大値を求めるなら、E(a)が最大になる条件を探すことになります。
（でも、明らかにaがbに漸近するのが解のひとつになりそうな。）

＃２お礼欄に関して、Erはお礼欄に記載の式にはならないかと思います。

（Er=A/r の形になるような。で、これをaからbまで積分すると、∫Edr=Alog(b/a)、∫Edr=Vより　A=V/log(b/a)、したがって Er=V/(r*log(b/a))になり、、ということになるかと）
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この回答へのお礼

重ね重ね本当にありがとうございました。

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お礼日時：2008/05/19 16:57

No.2

  • 回答者： foobar
  • 回答日時：

無限長同心円筒での電界


（教科書に書かれていると思いますが）

（・中心導体にq[C/m]の電荷を仮定する））
・無限長、同心円筒なので、電界のｚ,θ方向成分は0、r方向成分Erは角度によらず一定（均一）
・ガウスの法則より、Erが計算できる。

この回答への補足

すみませんEr=q/(2πrε0)でした。
あとなぜ電界の強さが最大となるaを求めるのにE(a)が最小になる条件を探すのでしょうか？

補足日時：2008/05/18 20:06
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この回答へのお礼

迅速な返答ありがとうございます。

ということは
Er=q/(2πε0)になるというわけですか？
あと∫Edrが電極間電圧になるというのも詳しく説明していただけませんか？
ほんとにたびたびの質問申し訳ありません。

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お礼日時：2008/05/17 20:26

No.1

  • 回答者： foobar
  • 回答日時：

どういう手順で解こうとしているか、くらいは書かれないとアドバイスの使用が無い様に思います。



（通常は、
・無限長同心円の条件から、電界強度の分布E(r)が計算できる
・∫Edrが電極間電圧になるので、これから内側導体表面の電界強度E(a)が計算できる
・E(a)が最小になる条件を探す
として計算するかと思いますが）

この回答への補足

すみませんがこの手順で解こうとしたのですが解けません・・・
無限長同心円の条件ってなんですか？
詳しい説明をしていただけると有難いです。

補足日時：2008/05/17 15:26
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この回答へのお礼

返答ありがとうございます。

正直どういう手順で解けばいいのかもわからなかったので・・・
できればその解き方での詳しい説明をしていただけませんか？

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お礼日時：2008/05/16 21:23

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Aベストアンサー

次元が異なるとなぜa→∞で電位が有限になるか、でしたね。
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とはいえ、この質問に対して十分納得できる回答は、
私には持ち合わせていません。

これについては、最終的に自分の見解を持って自得するしかないと思います。（数式上ではそうなることが分かっているので、それをどう捉えるかは物理のセンスとなります。）

まずは前半。E=1/rについてですね。一つの見解では、やはり「無限に広がる電荷」という事項がミソになっていると考えることができます。
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問題は、その後です。∫で考えると難しいのでΣで考えましょう。
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物理的には、これはどこまで離れた距離dからでも、さらに9d遠ざかると一定の位置エネルギー(log9)が獲得できることとして解釈できます。
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このように、ポテンシャル無限は「どんなに大きな運動エネルギーでも脱出できない」もしくは「どこまで離れても加速し続ける」ことを示唆していると考えると良いでしょう。
普通に物理の問題で「だめだこの問題、解が発散する」なんて考えるよりは、よほどセンスが磨かれる良い思考だと思いますよ。

次元が異なるとなぜa→∞で電位が有限になるか、でしたね。
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しかし、誘電率の大小によって電場は強弱は変化するわけですので
電場はRのみの関数であるというのは自明とは思えません。

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ご教授ください。

Aベストアンサー

ANO8をもう少し丁寧に説明してみます。

円筒形電極に電荷がある場合、それに接する誘電体の表面には、
反対の電荷(分極)が発生します。

円筒形電極の電荷の面積密度をρ(θ)とすると(θは円筒座標の角度)、
誘電体表面には面積密度 -α(θ)ρ(θ) が発生し、
金属電極と誘電体の境界には正味の電荷密度 ρ'(θ)=ρ(θ)(1-α(θ)) の電荷が貯まります。
#ρ(θ)とα(θ)はθの関数の意味

(1-α(θ)) = 1/εr(θ) なので(εr(θ): 比誘電率)

ρ'(θ)=ρ(θ)(1-α(θ)) = ρ(θ)/εr(θ)

金属、誘電体境界面内に広がる電荷ρ'(θ)は反発しあって、
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ρ'(θ) とみなしてよいので境界面での電界は

E(θ)=ρ(θ)/ε0εr(θ)=ρ'(θ)/ε0=一定

誘電体内には電荷はないので、真空と同様に扱って
差し支えありません。

するとこの問題は

円筒形上の真空に、円筒の表面に電荷が密度 ρ'(θ) で分布した
状況と同じなので、電場は円筒の軸から放射状に広がる
軸対称の形になります。

ガウスの定理から E が R に反比例することは明らかです。

ANO8をもう少し丁寧に説明してみます。

円筒形電極に電荷がある場合、それに接する誘電体の表面には、
反対の電荷(分極)が発生します。

円筒形電極の電荷の面積密度をρ(θ)とすると(θは円筒座標の角度)、
誘電体表面には面積密度 -α(θ)ρ(θ) が発生し、
金属電極と誘電体の境界には正味の電荷密度 ρ'(θ)=ρ(θ)(1-α(θ)) の電荷が貯まります。
#ρ(θ)とα(θ)はθの関数の意味

(1-α(θ)) = 1/εr(θ) なので(εr(θ): 比誘電率)

ρ'(θ)=ρ(θ)(1-α(θ)) = ρ(θ)/εr(θ)

金属、誘電体境界面内に広がる電荷ρ'(θ)は反発しあって、
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Q同軸円筒コンデンサについて

今、学校でコンデンサについて学んでいるんですが、同軸円筒コンデンサについてよく分からないので、質問させていただきます。

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Aベストアンサー

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回答は、
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（１）内球と外球の電荷
　　外側の球の表面に電荷 Q を与えたとき、内側の球の表面に-Q'の電荷が誘起されるとします。
　　すると、外側の球の裏面（内面）には Q' の電荷が誘起されます。このとき外側の球の表面の電荷を Q'' とすれば、外側の球の電荷の総量は Q なので、 Q' + Q'' = Q → Q'' = Q - Q'

（２）Q' を求める
　　外球の外側にある半径 r ( c < r ) の球面を考えると、その球面に含まれる電荷は、内外の球の電荷の総和で、その値は
　　-Q'（内側の球の表面電荷） + Q'（外側の球の裏面電荷） + Q - Q'（外側の球の表面電荷） = Q - Q'
　　半径 r の球面上の電界を E1(r) とすれば、Gaussの定理より、4*π*r*E1(r) =( Q - Q')/ε　→ E1(r) = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*r^2 ) ---[1]
　　半径 r の球面上の電位を V1(r) とすれば、V1(r) = ∫[r～∞] E1(r) dr = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*r )
　　外側の球の表面電位は V1 = V1(c) = ( Q - Q' )/( 4*π*ε*c )

　　内球と外球の間にある半径 r ( a<r<b ) の球面を考えると、その球面に含まれる電荷は、内側の球の表面電荷 -Q' だけだから、
　　半径 r の球面上の電界を E2(r) とすれば、Gaussの定理より、4*π*r*E2(r) = - Q'/ε　→ E2(r) = -Q'/(4*π*ε*r^2) --- [2]
　　半径 r の球面上の電位を V2(r) とすれば、V1 - V2(r) =∫[r～b] E2(r) dr = -Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/r ) 。
　　式[3]から、V1 =( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) なので、V2(r) = V1 + Q'/(4*π*ε)*( 1/b-1/r ) = ( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) + Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/r )
　　内側の球は接地されているので、V2(a) = 0 　→　 ( Q-Q' )/( 4*π*ε*c ) + Q'/(4*π*ε)*( 1/b - 1/a ) = 0
　　したがって、Q' = Q/{ c* ( 1/a - 1/b + 1/c ) } = Q/{ 1 + c*( 1/a - 1/b ) } --- [3]

（３）電界分布
　　式[3]を式[1],[2] に代入すれば
　　E1(r) = ( Q-Q' )/( 4*π*ε*r^2 ) = Q*[ 1 - 1/{ 1 + c*( 1/a - 1/b ) } ]/( 4*π*ε*r^2 ) = Q*c*/[ { a*b/( a - b ) + c }*4*π*ε*r^2 ]
　　E2(r) = -Q'/(4*π*ε*r^2) = -Q/[ { 1 + c*( 1/a - 1/b ) }*4*π*ε*r^2 ]

（４）まとめ
　　a<r<b のとき、E = Q*c*/[ { a*b/( a - b ) + c }*4*π*ε*r^2 ]
　　c<r　　のとき、 E = -Q/[ { 1 + c*( 1/a - 1/b ) }*4*π*ε*r^2 ]

（１）内球と外球の電荷
　　外側の球の表面に電荷 Q を与えたとき、内側の球の表面に-Q'の電荷が誘起されるとします。
　　すると、外側の球の裏面（内面）には Q' の電荷が誘起されます。このとき外側の球の表面の電荷を Q'' とすれば、外側の球の電荷の総量は Q なので、 Q' + Q'' = Q → Q'' = Q - Q'

（２）Q' を求める
　　外球の外側にある半径 r ( c < r ) の球面を考えると、その球面に含まれる電荷は、内外の球の電荷の総和で、その値は
　　-Q'（内側の球の表面電荷） + Q'（外側の球の裏面電荷...続きを読む

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Q電子の運動方程式からの電子の速度の導出法

電子の運動方程式m(dv/dt)=-eE-(mv)/τから
電子の速度v(t)=-(τeE/m)(1-exp(-t/τ))が導けるらしいのですが、どうやれば導けるのか、過程が全く分からず困っています・・・
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Aベストアンサー

ご質問の微分方程式は1階線形なんで、vは
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Q電場のエネルギー密度と静電エネルギー

電磁気学の質問です。

電場のエネルギー密度 1/2 ε_0 E^2 を空間の全体積で積分すると
静電エネルギーになるという式変形は追えるのですが、
この２つの具体的な関係がよくイメージ出来なくて困っています。
静電エネルギーというと、コンデンサーにたまるエネルギーで、
導体を帯電する時の仕事と理解してるのですが、
何かこれだけでは足りない気がしていて…。

もし、よろしければ、どなたかアドバイスいただけませんか？
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

＞静電エネルギーというと、コンデンサーにたまるエネルギーで、
＞導体を帯電する時の仕事と理解してるのですが、
確かにその通りです。
コンデンサーに限らず、電荷Qを持っている導体に対しても無限遠との電位差をVとして静電容量C=Q/Vと言う物を定義でき、静電エネルギーUはU=1／2*QVとなります。その物体の周りの空間を微少な領域に分割し、ガウスの法則を適用して計算をガリガリ進めるとUは1/2*ε_0 E^2の全空間積分と表せます。（導体であれば内部でEは0なので、導体を除いた空間の積分）
この物理的意味を考えてみると、電荷Qの導体自身が静電エネルギーUを持っている物だと考えていたのに、その周りの空間（場）にエネルギーが蓄えられている、という見方も出来るのです。
もっと言えば、電荷eがあるとその周りの空間にある種の歪み（電場）が生じ、その歪みがエネルギーを蓄えていると考えられるわけです。

同じように磁場についても、電荷が動けばその周りの空間に歪み（磁場）が生じ、場自身がエネルギー密度1/2*μ_0 B^2 を持つことが分かります。
磁場や電場による力についても色々式をいじくっていくとマックスウェルの応力と呼ばれる空間（場）に力が働くという表示も得られたりします。

結局何が言いたいのかというと、電磁気学というのは場という考え方に基づいて話を展開することができ、その立場の元では静電エネルギーというのは場そのものがエネルギーを蓄えていると考えられると言うことです。

＞静電エネルギーというと、コンデンサーにたまるエネルギーで、
＞導体を帯電する時の仕事と理解してるのですが、
確かにその通りです。
コンデンサーに限らず、電荷Qを持っている導体に対しても無限遠との電位差をVとして静電容量C=Q/Vと言う物を定義でき、静電エネルギーUはU=1／2*QVとなります。その物体の周りの空間を微少な領域に分割し、ガウスの法則を適用して計算をガリガリ進めるとUは1/2*ε_0 E^2の全空間積分と表せます。（導体であれば内部でEは0なので、導体を除いた空間の積分）
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Q電場と電位

無限の長さ、半径Rの円筒の表面に一様な電荷密度σで電荷が分布しています。
[１]周囲の電場Eを円筒の中心軸からの距離ｒの関数として求めなさい。
[２]周囲の電位φ(ｒ)を求めなさい。

このような問題なんですけど、電場が間違えているのか、電位が無限大になってしまって…困ってます。
よろしくお願いします!!

Aベストアンサー

今日、手を怪我したため、式の検討が出来ません。
あまり文字も打てません。
ごめんなさい。

---------------------------
電位を求める積分で
(i)r<Rのとき
Φ(r)=0
となっているんですが、これは外側表面の電位を基準(Φ(R)=0)にしているからなんでしょうか？
---------------------------
「円柱内部は（電界がゼロなので）電位も一定だ」と言っている式のようです。
http://www-d.ige.solan.chubu.ac.jp/goto/docs/djk1/p7-1b.ssi
そして、電位φは、本来どこを基準（０）にしてもよいですが、
円柱内部（の全体）をφ＝０にしています。

すみませんが、これにて。

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