「f(x)=x^2+ax+b とする。∀n∈Z に対して、f(n)が偶数となるためのa,bの条件を求めよ。」
この問題に対して私は以下のように解答しました。
「(ⅰ)nが偶数 つまりn=2p(p∈Z)と表わせるとき
f(n)=f(2p)=2*2p^2+2ap+b
f(n)が偶数となるとき bが偶数であることが必要
(ⅱ)nが奇数 つまりn=2q+1(q∈Z)と表わせるとき
f(n)=f(2q+1)=2*2q^2+2(a+2)q+a+b+1
f(n)が偶数となるとき a+b+1が偶数であることが必要
(ⅰ),(ⅱ)より
f(n)が∀n∈Z に対して偶数となるとき
aは奇数、bは偶数であることが必要
逆にaは奇数、bは偶数 すなわち a=2s+1(s∈Z), b=2t(t∈Z) であるとき
f(x)=x^2+(2s+1)x+2t となり
(a)nが偶数 つまりn=2p(p∈Z)と表わせるとき
f(n)=2*2p^2+2p(2s+1)+2t となり f(n)は偶数
(b)nが奇数 つまりn=2q+1(q∈Z)と表わせるとき
f(n)=2*2q^2+2(2s+3)q+2t+2 となり f(n)は偶数
となるから f(n)は∀n∈Z に対して偶数となる
以上よりn∈Z に対して、f(n)が偶数となるためのa,bの条件は
aが奇数で、bが偶数であること」
設問に対する証明はこれで良いのでしょうか。
No.4
- 回答日時:
合っていますよ。
take_5さんの回答にあるように必要条件を出す時には、必ずしも一般的なものを代入する必要はないということは、ポイントじゃないですかね。あとtake_5さんへ
先の問題のレスというか・・が遅れてすいませんね。もう打ち切られて返事できませんでしたけど、あれは勿論質問者へ対してです。「回答に書いてあるように」と書いておいたんですが分かりにくかったですかね。誤解が生じそうな書き方で申し訳ありませんでした。この場を借りさせて頂きますm(-.-)m
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
f(x)=x^2+ax+b とすると、題意からf(1)=1+a+b、f(2)=4+2a+bも2で割り切れなければならない。
1+a+b=k、4+2a+b=m (kとmは整数)より、a=2(m-k)-3、b=2(2k-m+1)であるから、aは奇数、bは偶数でなければならない。
逆に、a=2(m-k)-3、b=2(2k-m+1)の時、f(n)=n^2+an+b=n^2+{2(m-k)-3}*n+2(2k-m+1)=(n^2-3n+2)+2(mn-kn+2k-m)=(n-1)*(n-2)+2(mn-kn+2k-m)。
(n-1)*(n-2)は連続する整数の積から2の倍数、2(mn-kn+2k-m)は当然2の倍数。
以上から、aが奇数、bが偶数である事が必要十分条件である。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 政治 結婚は掛け算ですよね? 5 2022/12/02 09:40
- 数学 整数問題についてですが、 「正の整数aに対してa²を4で割ったときの余りを求めよ」という問題で、答え 12 2023/08/28 15:03
- その他(教育・科学・学問) 奇数と偶数が覚えられません。高校一年生です。 違いは分かるんです。どっちかが2の倍数でどっちかが3の 8 2023/01/22 22:03
- JavaScript 助けてください‼︎ javascriptで質問があります。 配列を定義して、 29342、45342 3 2022/06/26 22:06
- 数学 積分の偶関数奇関数は、xの累乗がそれぞれ偶数、奇数のみを解くのですか? 4 2023/08/02 19:14
- Excel(エクセル) B列に、A列の数字が偶数の場合は1減算した数字、奇数の場合はそのまま数字を自動表示したい 4 2022/04/16 12:01
- 中学校 教えてください。。。中学数学質問です。 5 2022/08/07 21:32
- 数学 数学者は「26万分の1の確率は偶然の可能性もある」と言いますか? 1 2022/07/03 14:37
- 数学 写真の数学の問題です。 a,bに区別があるから確率n(A)=5×4×2と考えてしまいました。n(U) 3 2023/04/21 17:07
- 数学 1から9の数字を書いたカードが一枚ずつある。これらの9枚のカードから同時に2枚を取り出し、数字の大き 5 2022/04/25 15:38
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
イプシロンデルタ論法の定義に...
-
大学の問題です。
-
f(x) g(x) とは?
-
f(x)=(1+x^2)^1/2のn回微分
-
f(x)=sin(x)/x って、とくにf(0...
-
テイラー級展開について。 f(x+...
-
三次関数が三重解を持つ条件とは?
-
関数方程式f(x)=f(2x)の解き方...
-
3次関数f(x)がx=1で極小値-5, x...
-
マクローリンの定理の適用のし...
-
f(x)=xe^-2xの極大値
-
数学の問題です。 f(x)=x^ne^-x...
-
微分について
-
フーリエ級数についての質問で...
-
√2X の微分なんですが普通にル...
-
数学II 積分
-
微分可能なのに導関数が不連続?
-
数学の記法について。 Wikipedi...
-
微分可能ならば連続の証明につ...
-
ニュートン法について 初期値
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
f(x) g(x) とは?
-
数学の f(f(x))とはどういう意...
-
微小量とはいったいなんでしょ...
-
大学の問題です。
-
差分表現とは何でしょうか? 問...
-
微分について
-
"交わる"と"接する"の定義
-
f(x)=sin(x)/x って、とくにf(0...
-
どんな式でも偶関数か奇関数の...
-
数学II 積分
-
f(x)=|x-3|+|x-2|+|x-1|の最...
-
関数f(x)がC∞-級関数であること...
-
左上図、左下図、右上図、右下...
-
極限、不連続
-
三次関数が三重解を持つ条件とは?
-
数学 fとf(x) の違いについて
-
導関数の値が0=定数関数 ど...
-
微分の公式の導き方
-
数学の洋書を読んでいて分から...
-
数学についてです。 任意の3次...
おすすめ情報