仕事を頑張る人のおしりトラブル対策

「四面体ABCDがある。互いにねじれの位置にある辺の中点を結ぶ3つの線分は同じ点で交わることを示せ。」
という問題があり、この正解答として掲載されている解法が理解できません。

その解法の流れは、
まずAB、CDの中点をP、Qとしたとき、PQの中点の位置ベクトルを求め、同様にその他のねじれの位置にある辺の中点を結ぶ辺の中点を求め、結果的にその中点は同じ位置ベクトル「($a+$b+$c+$d)/4」($はベクトル記号とする)であるから同じ点で交わる。

としていますが、僕にはPQの「中点」が交点だという推測ができません。
なぜ「交点」はねじれの位置にある辺の中点を結ぶそれぞれ辺の「中点」だと事前に推測できるのですか?
その点について整理したいです。お手数ですが、そのための助言などをしていただきたいです。
よろしくお願い致します。

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A 回答 (2件)

まず前半の方から: $p = $a+2$b-$c+$d は「点P の位置ベクトルは, 『点A の位置ベクトル』と『点B の位置ベクトルの 2倍』と『点C の位置ベクトルの -1倍』と『点D の位置ベクトル』を加えたものである」という意味です.


ここで問題: もともと $p = $a+2$b-$c+$d で表される位置ベクトルは, 「2点 A, B の名前を付け替える」操作によってどのように表されるでしょうか?
(置き換えたあとの位置ベクトルをプライムで区別することにすると) $a' = $b, $b' = $a なので $p' = $b'+2$a'-$c'+$d' でしょうか? それとも (付け替えても「点A」は「点A」なので上の「」を使って) $p' = $a'+2$b'-$c'+$d' でしょうか?
このように, 対称でない式で表される位置ベクトルでは「点の名前の付け替え」によって違う値になってしまいます. ところが, 今の問題ではそれはありえないので 4ベクトルに関して対称な式だけを考えればいいということになります.
で後半ですが, これは「求める点の (点A からの) 相対的な位置が 3点 B, C, D の (点A からの) 相対的な位置だけで決まる」という条件から容易に得られます. つまり求める点の位置ベクトルを $p とおくと $p-$a = f($b-$a, $c-$a, $d-$a) (f は 1次式) と表される必要があり, このことから $p について解いた式における 4ベクトルの係数の和は 1 です.
あと本当は「定ベクトル項」がないことも言わなきゃならないんだけどこれは「1点」という特殊な場合から明らか.

この回答への補足

まずお詫び申し上げます。
返事が遅れて、大変申し訳ございません。

>まず前半の方から: $p = $a+2$b-$c+$d は「点P の位置ベクトルは, 『点A の位置ベクトル』と『点B の位置ベクトルの 2倍』と『点C の位置ベクトルの -1倍』と『点D の位置ベクトル』を加えたものである」という意味です.

はい。

>ここで問題: もともと $p = $a+2$b-$c+$d で表される位置ベクトルは, 「2点 A, B の名前を付け替える」操作によってどのように表されるでしょうか?
>(置き換えたあとの位置ベクトルをプライムで区別することにすると) $a' = $b, $b' = $a なので $p' = $b'+2$a'-$c'+$d' でしょうか? それとも (付け替えても「点A」は「点A」なので上の「」を使って) $p' = $a'+2$b'-$c'+$d' でしょうか?

$p' = $b'+2$a'-$c'+$d' だと思います。「点A」は「点A」なので というのは、「」の表現は置換前に定義したものであるため、置換後も「」の表現は置換前の位置のみを表わし、置換後も同じ位置を表現するには「$p' = $b'+2$a'-$c'+$d'」のように再定義しなければならないと思います。

>このように, 対称でない式で表される位置ベクトルでは「点の名前の付け替え」によって違う値になってしまいます. ところが, 今の問題ではそれはありえないので 4ベクトルに関して対称な式だけを考えればいいということになります.

なぜ、今の問題ではそれは「ありえない」のでしょうか。
確認しますが、「点の付け替え」というのは、点そのものの位置を変えているという認識で一貫して返答しているのですが、正しいでしょうか?(つまり、置換前と後では図形の形が違う。置換前のABCDと、置換後のBACDは同じ四面体だが、置換後のABCDとは違う。)
僕は今のところこの部分の解釈で間違っている理由がほとんど分からないです。

>これは「求める点の (点A からの) 相対的な位置が 3点 B, C, D の (点A からの) 相対的な位置だけで決まる」という条件から容易に得られます. つまり求める点の位置ベクトルを $p とおくと $p-$a = f($b-$a, $c-$a, $d-$a) (f は 1次式) と表される必要があり, このことから $p について解いた式における 4ベクトルの係数の和は 1 です.

「求める点の (点A からの) 相対的な位置が 3点 B, C, D の (点A からの) 相対的な位置だけで決まる」というのは理解できました。$p-$a = f($b-$a, $c-$a, $d-$a) (f は 1次式) というのは、対称式であると理解できれば、納得できます。(fでくくってるのは「求める点」は「任意の点」ではなく、「対称式で書ける点」という前提ですよね・・・?(確認))
少しずつですけど整理されてるはずです。「$p-$a = f($b-$a, $c-$a, $d-$a)」が分かり易かったです。

補足日時:2008/08/15 22:36
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交わることを前提にすると, 交点の位置ベクトルは四面体の 4頂点の位置ベクトル $a, $b, $c, $d の対称式にならなきゃいけません. なぜなら, 対称式じゃないと「同じ四面体であるにもかかわらず頂点の名前の付け方によって位置が異なる」という謎の現象が起きてしまうからです. また, 四面体を平行移動させると交点も (同じだけ) 平行に移動しますが, これは係数の和が 1 であることを意味します. つまり, ここまでで*交わることが前提*だと交点は ($a + $b + $c + $d)/4 でなければなりません.


まあ, これは交わることが前提なんだけど, 計算が繁雑になる可能性はともかくその前提を無視しても解くことができます. まず AB/CD と AC/BD ペアで交点を求め (交点が求まらなければこの時点で「交わらない」としてよい), その交点を残りの AD/BC ペアが通ることを示せばいいです.

この回答への補足

交点が($a + $b + $c + $d)/4 でなければならないとき、交点はPQを1:1で内分する点として扱わなければ、交点の位置ベクトルが($a + $b + $c + $d)/4になることが無いというのは理解しました。

$p=($a+$b)/2, $q=($c+$d)/2
$PQをs:tに内分する点が交点としたとき
交点=($a+$b+$c+$d)/4
={t*($a+$b)/2+s*($c+$d)/2}/(s+t)
このとき、s=1,t=1のとき等式は成り立つ
s:t=1:1
∴PQの中点は交点

交点が ($a + $b + $c + $d)/4 になる理由に納得したとき、「中点と推測できる理由」は理解できたことになると思います。(ここまで合ってますか・・・?)
しかし、($a + $b + $c + $d)/4 になる理由はまだ納得できていません。

>交わることを前提にすると, 交点の位置ベクトルは四面体の 4頂点の位置ベクトル $a, $b, $c, $d の対称式にならなきゃいけません. なぜなら, 対称式じゃないと「同じ四面体であるにもかかわらず頂点の名前の付け方によって位置が異なる」という謎の現象が起きてしまうからです.

ある点の位置ベクトルが($a+2$b-$c+$d)のとき、頂点AとBを交換したら($b+2$a-$c+$d)のようになり、位置が異なることは無いと思いました。交換前の$aと交換後の$bは同じなので、位置の表記方法は異なることになりますが、「位置が異なる」ということにはならないと思います。
ここで、ある点を交点とした時も同様で、「頂点の名前の付け方によって交点の位置が異なってしまう」という説明を理解することができません。

>また, 四面体を平行移動させると交点も (同じだけ) 平行に移動しますが, これは係数の和が 1 であることを意味します.

四面体をある方向に平行移動した時、頂点と交点が移動する距離が同じなのは理解できますが、それと係数の和が1になることとの関係が理解できません。

せっかく返信してくださったのに、理解できなくて悲しいです。
もしよろしければ補足お願いします。

補足日時:2008/08/11 19:58
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(1)×2 2x-2y+6z-2=0
(2)   x+2y-z-3=0
------------------------------これを足してみると
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(1)   x-y+3z-1=0
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------------------------------これらを足し合わせると
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直線になることを示しています。


方程式が2つあるので、どれか一つの文字で表して、つなげてみるといいですね。
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{AO-(1/2)AC}⊥AC よって
{t-(1/2)}|AC|^2+sAB・AC=0  AC=8 AB・AC=c・b=24
64{t-(1/2)}+24s=0
24s+64t=32
6s+16t=8

よって12t=5 t=5/12 s=2/9
AO=(2/9)AB+(5/12)AC
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たぶんこんな感じ。

参考URL:http://www.crossroad.jp/cgi-bin/form.cgi?target=http://www.crossroad.jp/mathnavi/kousiki/zukei/gaisinn.html

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Q熱濃硫酸と銅の酸化還元反応式がわかりません。作る過程から教えてください。

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銅に濃硫酸を加えて加熱する。
Cu +2H2SO4 → CuSO4 +2H2O +SO2↑
*二酸化硫黄の実験的製法です。
酸化数を調べても分かる通り、酸化還元反応です。
銅の代わりに銀を用いることもあります。
H2SO4 +2H+ +2e- → SO2 +2H2O ・・・(戊)
Cu → Cu2+ +2e- ・・・(己)
で、(戊)+(己)の両辺にSO42-を加えれば作れます。
KW:イオン化傾向,イオン化列,半反応式
二酸化硫黄は、亜硫酸ガスとも呼ばれ、無色・刺激臭の有毒な気体で、その水溶液は弱酸性を示します。大気汚染、酸性雨の原因物質でもあります(四日市ぜんそくや足尾銅山鉱毒事件の原因にもなりました。また、クリミア戦争で化学兵器として使用されたといわれています。)。
還元作用がありますが、強い還元剤である硫化水素に対しては酸化剤として働きます
(酸化力の強さはKMnO4,K2Cr2O7>H2O2>(その他の物質)>SO2>H2Sです。
自分より酸化力の強いものに対しては還元剤として働くというわけです。
より正確に言うと、硫化水素の硫黄原子は 硫黄の最低酸化数である-2をとるので、
硫化水素が酸化剤として働くことはありません。)。
工業的には黄鉄鉱(二硫化鉄FeS2)や硫黄の燃焼によって得られ(硫黄は石油精製の脱硫による副産物として大量に得られるので、現在では硫黄の燃焼が主流)、硫酸製造の原料として多量に用いられるほか、漂白剤(二酸化硫黄をバラの花びらに接触させると、二酸化硫黄が色素を還元することで 花びらがおだやかに漂白されます。また、こうして漂白されたバラに過酸化水素水をかけると酸化されて再び色素が生成し、薔薇の色が戻ります。)・殺虫剤・医薬品などの原料にも用いられます。KW:接触法

亜硫酸ナトリウムに希硫酸を注ぐ。
Na2SO3 +H2SO4 → Na2SO4 +H2O +SO2↑
*もう1つの二酸化硫黄の実験的製法。
弱酸遊離反応の1つで
(弱酸の塩)+(強酸) → (強酸の塩)+(弱酸)
という仕組みです。
要は 簡単に言えば、酸として強いものから優先的に塩になるってことです。
*亜硫酸ナトリウムの代わりに亜硫酸水素ナトリウムを用いることもあります。

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Cu +2H2SO4 → CuSO4 +2H2O +SO2↑
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で、(戊)+(己)の両辺にSO42-を加えれば作れます。
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