No.4
- 回答日時:
随分いろいろと混乱しているようですが…
[1] | f(x) | > g(x)
[2] 「 f(x) < -g(x) かつ f(x) < 0 」 または 「 g(x) < f(x) かつ f(x) ≦ 0 」
[3] 「 f(x) < -g(x) かつ f(x) > 0 」 または 「 g(x) < f(x) かつ f(x) ≦ 0 」
[4] f(x) < -g(x) または g(x) < f(x)
[5] f(x) < -g(x) かつ g(x) < f(x)
[1] [4] の組、[3] [5] の組が、それぞれ同値です。
「 f(x) < -g(x) , g(x) < f(x) 」 とは、[4] [5] どちらのつもりでしょうか?
[1] [4] と同値にしたいなら、[2] や [3] ではなく、
以下の [6] [7] のどちらかでしょう。
[6] 「 f(x) < -g(x) かつ f(x) < 0 」 または 「 g(x) < f(x) かつ f(x) ≧ 0 」
[7] 「 f(x) < -g(x) かつ f(x) ≦ 0 」 または 「 g(x) < f(x) かつ f(x) > 0 」
f(x), g(x) の替わりに F, G とでも書いて、点 ( F, G ) を座標平面に図示してしまうと
見通しがよくなります。
No.3
- 回答日時:
> 「f(x)<-g(x) かつ f(x)<0」または「g(x)<f(x) かつ f(x)≦0」
「f(x) < -g(x) かつ f(x) < 0」または「g(x) < f(x) かつ 0 ≦ f(x)」でしょうか?
> 「f(x)<-g(x) , g(x)<f(x)」
「,」の記号の意味は「または」でしょうか?
[1]
g(x) < 0となるxの範囲では、
「f(x) < -g(x) かつ f(x) < 0」または「g(x) < f(x) かつ 0 ≦ f(x)」は常に成り立ちますし、
「f(x) < -g(x) , g(x) < f(x)」も常に成り立ちます。
よって『g(x) < 0となるxの範囲』では両者は等価となります。
[2]
g(x) = 0となるxの範囲では、
「f(x) < -g(x) かつ f(x) < 0」または「g(x) < f(x) かつ 0 ≦ f(x)」が成り立つのは『f(x) ≠ 0となるxの範囲』となります。
「f(x) < -g(x) , g(x) < f(x)」が成り立つのも『f(x) ≠ 0となるxの範囲』となります。
よって『g(x) = 0となるxの範囲』でも両者は等価です。
[3]
最後に0 < g(x)となるxの範囲を考えます。
0 < g(x)なので、
「f(x) < -g(x) かつ f(x) < 0」または「g(x) < f(x) かつ 0 ≦ f(x)」
⇒「f(x) < -g(x) かつ f(x) < 0」または「g(x) < f(x) かつ 0 < f(x)」
となります(f(x) = 0では不等式を満たせないので、f(x) ≠ 0)。
次に「f(x) < -g(x) , g(x) < f(x)」の方で考えます。
「f(x) < -g(x)」が成り立つ為には、f(x)は負の値をとらなくてはなりません(-g(x)が負の数なので)。
よってこの場合、f(x) < -g(x)が成り立つなら自動的にf(x) < 0となります。
同様に「g(x) < f(x)」が成り立つ時、f(x)は正の値をとらないといけないので
g(x) < f(x)が成り立つ時、自動的に0 < f(x)が成り立ちます。
よって『0 < g(x)となるxの範囲』でも両者は等価です。
また、こんな方法で示すこともできると思います。
「f(x) < -g(x) かつ f(x) < 0」または「g(x) < f(x) かつ 0 ≦ f(x)」
⇒「f(x) < -g(x) かつ f(x) < 0」または「g(x) < f(x) かつ 0 < f(x)」
⇒「f(x) < -g(x)」または「g(x) < f(x)」(0 < g(x)なら、「かつ」以降の条件が自動的に満たされる)
⇒ よって両者は等価
[4]
[1]~[3]より、
「f(x) < -g(x) かつ f(x) < 0」または「g(x) < f(x) かつ 0 ≦ f(x)」
⇔「f(x) < -g(x) , g(x) < f(x)」
という結論が得られました。
誤植はお詫びします。
|f(x)|>g(x) を解くとき、
「f(x)<-g(x) かつ f(x)>0」または「g(x)<f(x) かつ f(x)≦0」
と
「f(x)<-g(x) , g(x)<f(x)」
とは同値ですか?
ありがとうございます。
何人の方から間違った解答をもらい、不安でしたが、同値だということで安心しました。
|f(x)|>g(x)⇔max{f(x),-f(x)}>g(x)⇔f(x)>g(x)または-f(x)>g(x)
No.1
- 回答日時:
同値ではありません。
高校のレベルだったら、f(x)の符号で場合分けです。
i) f(x)≧0のときf(x)>g(x)
ii) f(x)<0のとき|f(x)|=ちょめちょめだから、…
関数が簡単ならば、両辺を2乗して差をとるというのもアリですが。
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