x4 + x2 + 1 の因数分解

x4 + x2 + 1　を因数分解したら、
(x2 + x +1)(x2 - x + 1)になったのですが、
友達はもう１つの回答があると言っていました。
実際それを見たらなるほど！と思ったのですが、それがどういうものだったか忘れてしまいました。
確かどっかに分数が入っていたと思います。
わかる方教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#24477 回答日時： 2002/12/16 00:38

実数の範囲ならあなたの答が唯一です。

虚数の範囲までなら＃１さんの答になります。

ちょっと違う話ですが、例えば
(2x+1)(x+3)＝2(x+1/2)(x+3)　のように’数字’を括弧の前に出すのは
どちらでもＯＫです。

あなたの質問の中に「分数が」という言葉があって気になったのですが

仮に
x^2(x+1+1/x)(x-1+1/x)
のような変形がしてあったらそれはやらないほうがいいです。
間違いとはいいませんが、分母にｘは無いほうがいい。

結論は最初に書いたとおりです。

No.5 回答者： nozomi500 回答日時： 2002/12/16 11:53

たとえば、

「２４」を約数に分けた場合、「3×8」も「4×6」にもできます。
これは「8」や「6」という「素数でない合成数」を使っているからです。

同様に、４次式を因数分解するのに、２次×２次にした場合の２次式が、「これ以上分解できる式」であれば、組み合わせによって「違うもの」ができます。
たとえば、（ｘ－１）（ｘ－１）（ｘ＋１）（ｘ＋１）を展開した４次式の場合
２通りのくみ合わせができますね。元の4次式は、ｘ^4－２ｘ^2＋１。

さて、(x2 + x +1)(x2 - x + 1) のどちらも因数分解できませんね。（実数の範囲で）
これは「６」を「2×3」で素因数にわけたら、これ以上の約数にはできないようなもの。（「1」を使うのを除けば）

ところで、
＞途中の{x-(1-√-3/)2)}　というのは{x-(1-√-3)/2)}のことですよね？
の意味がわからない。

No.4 回答者： mmky 回答日時： 2002/12/16 10:51

参考程度まで

x4 + x2 + 1　---(1)
(x＾2-α＾2)(x＾2-β＾2）と置きます。
=x＾4-x＾2(α＾2+β＾2)+α＾2β＾2 --(2)
与式(1)と（2）を比較すると、
α＾2+β＾2=-1 --(3)
α＾2β＾2=1 --(4)
（3）（4）から
β＾2=1/α＾2 →α＾4+α＾2+1＝0
y=α＾2 →ｙ＾2+ｙ+1＝0　→y=(1/2){-1±√-3}
α＾2=(1/2){-1±√-3}
β＾2=1/α＾2=2/{-1±√-3}
だから
α=±√｛(1/2){-1±√-3}｝
β=±1/√｛2/{-1±√-3}｝
ということでこの解を利用して
与式（1）=(x+α)(x-α)(x+β)(x-β）
に因数分解できるね。

検証してみましょう。
α＾2+β＾2=(1/2){-1±√-3}+2/{-1±√-3}
={(1/2){-1±√-3}＾2+2}/{-1±√-3}
={(1/2)(-2±2√-3）+2}/{-1±√-3}
=(1±√-3)/{-1±√-3}=-1
α＾2β＾2=1

そこで、この方法で＃１さんの回答を検証してみましょう。
{x+(1-√-3)/2}{x+(1+√-3)/2}{x-(1-√-3/)2)}{x-(1+√-3)/2}
={x＾2-((1+√-3)/2)＾2}{x＾2-((1-√-3)/2)＾2}
{x＾2-α＾2}{x＾2-β＾2}=x＾4-x＾2(α＾2+β＾2)+α＾2β＾2
α＾2=｛(1+√-3)/2}＾2
β＾2=｛(1-√-3)/2}＾2
と置くと、
α＾2β＾2=(1+√-3)/2)＾2*(1-√-3)/2)＾2
=(1+2√-3-3)(1-2√-3-3)/16=(-2+2√-3)(-2-2√-3)/16
={4-4(-3)}/16=1
α＾2+β＾2=(1+√-3)/2)＾2+(1-√-3)/2)＾2
={(-2+2√-3)+(-2-2√-3)}/4=-1
与式の条件
α＾2β＾2=1,　α＾2+β＾2=-1
を満たすので正しいですね。
これは方程式（x2 + x +1）と（x2 -x +1）の解
から得られたものですね。

ということで、x4 + x2 + 1　の解はいくつかあるのですね。
解を使って因数分解する場合は、意外と難しいのですね。

参考程度まで

No.3 回答者： good777 回答日時： 2002/12/16 08:47

x4 + x2 + 1 を因数分解する方法として

★解1
x4 + x2 + 1
＝（ｘ＾2　+　1）＾2　－ｘ＾2
＝(x2 + x +1)(x2 - x + 1)

★解2
x4 + x2 + 1
＝ｘ＾2　（　ｘ＾2　＋1　+ｘ＾（-2））

ここで、
ｘ　+　1/ｘ＝Xとおくと

ｘ＾2　＋1　+ｘ＾（-2）
＝X＾2　－1
＝（X+1）（X-1）

ですから、
与式＝ｘ＾2　（X+1）（X-1）
＝(x2 + x +1)(x2 - x + 1)
とする方法があります。

そのことを言っているのではないですか。

答えは同じになります。

最高次の項の指数が偶数で、降冪の順に並べたときの係数が左右対称な

整式の一般的な因数分解の解法です。

解1、解2、何れも有効な解法ですが、当然、答えは同じになります。

因数分解の一意性です。数の範囲を拡張すればNo.1のようになります。

No.1 回答者： Mell-Lily 回答日時： 2002/12/15 23:05

虚数係数まで許すなら、

　{x+(1-√-3)/2}{x+(1+√-3)/2}{x-(1-√-3/)2)}{x-(1+√-3)/2}
と因数分解できます。

この回答への補足

速い回答ありがとうございます！
途中の{x-(1-√-3/)2)}　というのは{x-(1-√-3)/2)}のことですよね？

補足日時：2002/12/15 23:23