１＝－１？

別の質問を見ていてふと思い出したのですが、

1 = √1 = √{(-1)×(-1)} =√(-1)√(-1)= i^2 = -1

という式を見たことがあります。わかりにくくてすみません。
どこがおかしいんでしょう……。

No.3 ベストアンサー 回答者： 33550336 回答日時： 2008/09/21 11:28

一般にｚが複素数のとき、√ｚは多価関数となります。

つまりひとつに定まりません。
しかし実数の世界では順序を利用して無理矢理一価の関数にしているのです。
実際実数の範囲でのみ考えるとき、√ｘは「ｘの平方根のうち、正の方」を表します。

複素数には大小関係が定義できないため、このような方法で一価にすることはできません。

さて、質問の答えですが、おかしな答えがでてきたのは実数の世界の常識（√ｘはひとつに定まること）を複素数の世界で適用してしまったことにあります。
実数の世界では√１＝１は成立しますが、複素数の世界ではこれは一般には成立しません。
√１＝±１となります。

この回答へのお礼

#2のご回答と合わせて、√zが多価関数ということを理解できました。確かに言われてみれば当たり前ですね。

数年この疑問の答えがわからずにいたのですが、#1～3のご回答で納得できました。ありがとうございました。

お礼日時：2008/09/21 16:52

No.2 回答者： noname#70519 回答日時： 2008/09/21 09:56

実数体での演算であれば、i は出てこないので

複素数体での演算を考えていることになりますね。
中途半端に複素数を持ち込んでいるのでおかしくなるのです。

複素数での演算とみなると以下のようになります。

nを実整数としたとき、1 は e^(2nπi) と表されます。
e^(2nπi)={e^(nπi)}^2

e^(nπi) は、n が偶数、n=2m の時、
e^(nπi)={e^(mπi)}^2=1
n が奇数で、n=2m+1 の時、
e^(nπi)=[{e^(mπi)}・e^{(π/2)i}]^2=-1

故に、
√e^(2nπi)=√[{e^(nπi)}^2]=√[{e^(mπi)}^2]^2={e^(mπi)}^2=1
または
√e^(2nπi)=√[{e^(nπi)}^2]=√（[{e^(mπi)}・{e^(π/2)i}]^2）^2
=[{e^(mπi)}・{e^(π/2)i}]^2=-1

この回答へのお礼

あー、なるほど。確かに複素数を使った以上そうなっちゃいますね。

ずっと実数での演算ルールで考えていたので混乱していました。
ありがとうございました。

お礼日時：2008/09/21 16:46

No.1 回答者： R_Earl 回答日時： 2008/09/21 07:22

> √{(-1)×(-1)} =√(-1)√(-1)

この変形はできません。
√(ab) = √(a)√(b)の変形ができるのは、aとbが両方正の数の時だけです。

中3数学の平方根の問題でも
『√{ (-6)^2 }を計算しなさい 』という問題が出題されます。
これも√{ (-6)^2 } = √(-6)√(-6) = -6とはなりません。

√{ (-6)^2 }
= √36
= √(6^2)
= √6√6
= 6

となります。
√(ab) = √(a)√(b)の変形をするのは、aとbが+6（正の数）の時です。

この回答へのお礼

ご指摘の部分の変形がおかしいのかな～、と考えていたのですが、その式変形がダメな具体例が思いつかず困っていました。

ありがとうございました。

お礼日時：2008/09/21 16:39