フェルマー点から三角形の頂点への距離を求めたい、3元連立2次方程式

三角形ABCがあり、BC=a,CA=b,AB=cとします。

内部に点Pをとり、∠BPC=∠CPA=∠APB=120度となったとします。

この点はフェルマー点と呼ばれます。

PA=x,PB=y,PC=zとして、それらを具体的に求めたいのです。

余弦定理で、
y^2+z^2+yz=a^2
z^2+x^2+zx=b^2
x^2+y^2+xy=c^2

これをx,y,zについて解いて具体的に書くとどうなるのでしょうか?
普通には求められそうもないので、x,y,zの代わりに、たとえば、
x+y+z,xy+yz+zx,xyzを求めようともしましたがうまくいきません。
代数的に解く代わりに、たとえば、三角関数を使って解こうとしてもうまくいきません。
なにかいいアイデアはないでしょうか。

No.1 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2008/10/01 04:09

　式が複雑になりそうなので、方針だけお伝えします。

１．　質問者さんが余弦定理から導かれた３つの式をそれぞれ式（Ａ）、式（Ｂ）、式（Ｃ）とおきます。
　これらを足し合わせて、まず次の式を得ます。
　　2(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)＝a^2+b^2+c^3　・・・（Ｄ）

２．　次に△ＡＢＣの面積に注目します。
　　△ＰＡＢ＋△ＰＢＣ＋△ＰＣＡ＝△ＡＢＣ
　　△ＰＡＢ＝√3/4　xy、△ＰＢＣ＝√3/4　yz、△ＰＣＡ＝√3/4　zx
　△ＡＢＣの面積はヘロンの公式から次のようになります。
　　△ＡＢＣ＝√{s(s-a)(s-b)(s-c)}　ただし、s＝(a+b+c)/2

　ここから、次の式が導かれます。
　　xy+yz+zx＝4/√3 √{s(s-a)(s-b)(s-c)}　・・・（Ｅ）

３．式（Ｅ）を式（Ｄ）に代入することで、x+y+z を得、ｘをｙ、ｚで表します。

４．３．項で得られたｘについての式を式（Ａ）、（Ｃ）に代入し、ｙ、ｚについての連立方程式を得、これを解きます。

この回答へのお礼

ご返答、大感謝いたします。
△ＡＢＣの面積に注目されていますが、それはいいアイデアですね。
それの代数的な意味が気になるところです。

y^2+z^2+yz=a^2
z^2+x^2+zx=b^2
x^2+y^2+xy=c^2

本来は、この３つの条件だけで十分と思います。
連立方程式を全部足せば、
2(x+y+z)^2-3(xy+yz+zx)＝a^2+b^2+c^3
連立方程式をうまいぐあいに代数的に変形して、
xy+yz+zx＝4/√3 √{s(s-a)(s-b)(s-c)}　

これらから、基本対称式のうち、xy+yz+zxとx+y+zが求められるのですね。
となると気になるのが、基本対称式xyzをa,b,cを用いて表すには?

お礼日時：2008/10/01 05:04

No.2 回答者： info22 回答日時： 2008/10/01 09:44

数式処理ソフトを利用して工夫して解いて見ました。

式が長くなりますので、以下のS,s,kの置き換えをしておきます。
三角形の面積をS（ヘロンの公式で与えられる）
s=(a+b+c)/2
k=√{(a^2+b^2+c^2+4S√3)/2}
x,y,zは以下のように解けました。
x=k-(a^2+4S/√3)/k
y=k-(b^2+4S/√3)/k
z=k-(c^2+4S/√3)/k

検証)
もとの３つの方程式に代入すると満たしています。

この回答へのお礼

これはすばらしいです。感謝いたします。
いまはまだ忙しくて検証していませんが、あとで考えてみます。

なんか背景なども考え込んでいます。
この問題を考えた一つのきっかけは、次の感じです。

平面に異なる３点A,B,Cをとります。
平面にもう一点Pをとり、その位置（座標）を、
PA,PB,PC
という長さの組で表します。
その３つの値のうち、逆にPA,PBの値が上手に具体的に与えられれば、Ｐの位置が決まります。正確には二意に決まります。
すると、PCの値も定まります。
つまり、AB,BC,CA,PA,PB,PCにはある関係式があります。
それは、いわゆる四面体のヘロンの公式での体積＝0、という関係式です。

３辺がa,b,cの三角形における有名な点P（五心など）の位置を、
PA,PB,PC
の長さで表したいのです。

お礼日時：2008/10/02 05:45

No.3 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2008/10/01 10:42

　＃１です。

お礼をありがとうございます。

＞となると気になるのが、基本対称式xyzをa,b,cを用いて表すには?

　そうですよね。xyzも何かで求められれば綺麗になりますよね。
　xy+yz+zxを求められたのは、この２次の基本対称式の関係を得るには、辺の長さの２次になる面積の関係から求められないかな？　と思ったことによります。
　そこで、たまたま上手く関係式を得ることができたのですが、３次のxyzについてはアイデアが浮かびませんでした。単純には、辺の長さを利用した立体の体積に絡んでくるのでしょうが、その関係を見つけられなかったのです。それ以外にも（余弦定理が２次に関することと同様に）辺の長さの３次に関する関係式があればそれを利用することもできるかもしれませんが、私は思いつきませんでした。
　数学的センスに溢れた他の回答者さんたちでしたら、その辺りのことが見つけられるかもしれません。この点は、その方たちにお譲りしたいと思います。

＞y^2+z^2+yz=a^2
＞z^2+x^2+zx=b^2
＞x^2+y^2+xy=c^2
＞本来は、この３つの条件だけで十分と思います。

　私もそう思います。式（Ａ）からｙをｘで表した式を求め、それを式（Ｃ）に代入してｘとｚの２元連立方程式にしていくという手順をとれば複雑にはなりますが、ｘ、ｙ、ｚは解けるはずです。
　ただ今回はもっと楽に解く方法はないかと考え、他の式と組み合わせることにしただけです。条件的には上の３式だけで十分なはずです。

　なお、＃２さん、数式ソフトで検証して下さったこと、この場を借りてお礼申し上げます。

No.4 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/10/01 19:53

あまりに途中が大変そうなので計算してませんが

y^2+z^2+yz=a^2
z^2+x^2+zx=b^2
x^2+y^2+xy=c^2
を掛けて，基本対称式で表せば，x+y+z，xy+yz+zxして
恐らくxyzの二次方程式になると予想できます．

No.5 回答者： info22 回答日時： 2008/10/02 01:02

#2です。

参考までに、A#2のx,y,zから積xyzを逆算すると
xyz=
[{16S-(a^2+b^2-c^2)√3}*{16S-(a^2+c^2-b^2)√3}
　*{16S-(b^2+c^2-a^2)√3}]
　/[6√6 {(16√3 S+a^2+b^2+c^2)}^(3/2)]

となりますね。