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2ch物理板では回答が得られず流れたのでこちらに投稿します。

熱力学の話です。
ポアソンの式TV^(γ-1)=Const.の証明をしようとしましたが、明らかに間違った式が出てきたのでツッコミお願いします。

状態方程式PV=nRTを微分して、PdV+VdP=nRdT
断熱過程における熱力学第二法則 0=ΔU+Wout 微分形にして 0=nCvdT+PdV(Cvは定積モル比熱)
二式の和は VdP=n(Cv+R)dT=nCpdT(Cpは定圧モル比熱、マイヤーの関係を用いた)…(1)
また、状態方程式からP=nRT/V 両辺微分してdP=-nRTV^(-2)dV
これを(1)式に代入し、-nRTdV/V=nCpdT
すなわち (R/Cp)dV/V+(dT/T)=0
この微分方程式を解いて、TV^(R/Cp)=Const.

正しいポアソンの式の導出はとりあえず把握しましたが、上記のどこが間違っているのかわかりません。ご教授ください。

A 回答 (2件)

No1さんの御指摘のところが問題です。

そこで変数Tを定数にしてますね。そんな計算は触らないでやりましょう。そもそも途中が迂回しすぎです。(1 molで考えて)
0=CvdT+PdV
ですから
CvdT=-PdV
P=RT/Vを代入し
CvdT/T=-RdV/V
これを積分すれば
Cvln(T2/T1)=-Rln(V2/V1)
ですからお望みのところへたどり着けるはずです。
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>状態方程式からP=nRT/V 両辺微分してdP=-nRTV^(-2)dV



両辺をどんな変数で微分したんですか。変数はP,V,Tの3個ありますよ。

この回答への補足

Tで微分した後、両辺にdTを乗じた積りでした。
すると、dP=-nRTV^(-2)dV
でTも変数であることを忘れたのが原因ですね。
正しくは、
dP=nRdT/V-nRTV^(-2)dV
となるはずで、
質問に書いたとおりdPに代入すると
nRdT-nRTdV/V=nCpdT
整理して、
(R/Cv)dV/V+(dT/T)=0
これは明らかに正解ですね。ありがとうございます。

補足日時:2008/12/09 19:02
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