電気回路における複素指数関数表示と三角関数表示

電気回路の式を計算しています。
複素指数関数で計算したものと、
三角関数で計算したものが一致しません。
どこが問題かが分かりません。

以下に示します。

●三角関数での計算：仮定
I(t)=I0cos(ωt)
R(t)=R0{1+αΔT(ω)cos(ωt)}
(I0,R0の0は添字です)

●三角関数での計算
V1(t)=I(t)R(t)
=I0R0cos(ωt)+(1/2)I0R0αΔT(ω)cos(ωt)
　　　+(1/2)I0R0αΔT(ω)cos(3ωt)

●複素指数関数での計算：仮定
I(t)=I0exp(iωt)
R(t)=R0{1+αΔT(ω)exp(i2ωt)}

●複素指数関数での計算
V2(t)=I(t)R(t)
=I0exp(iωt)R0{1+αΔT(ω)exp(i2ωt)}
=I0R0exp(iωt)+I0R0αΔT(ω)exp(i3ωt)
Re(V2(t))=I0R0cos(ωt)+I0R0αΔT(ω)cos(3ωt)

（Reはカッコでくくった所の実部をとるという記号です）

V1とRe(V2(t))が一致しません。
なぜなのか、分かりません。

どなたか分かる方いらっしゃいましたら、
お教えいただけるとうれしいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2008/12/17 05:24

I0exp(iωt)R0{1+αΔT(ω)exp(i2ωt)}

=I0R0exp(iωt)+(1/2)I0R0αΔT(ω)exp(iωt)+(1/2)I0R0αΔT(ω)exp(i3ωt)
は普通に考えれば、どう見ても成り立ちませんね。
なんか、重要な前提が抜けてる？
IとRは独立じゃないのかな。もしくは、ωにある制限があるとか。

＞このR(t)は細線状金属膜の抵抗です。
＞この細線には周波数２ωの電力が発生します。
＞これにより細線の温度が周波数２ωで振動し、
＞細線の抵抗が
＞R(t)={1+ΔT(ω)exp(i2wt)}
＞と周波数２ωで振動することになります。
とのことですが、そのときの電流I(t)ってのはどこからきまってるんですか？ 抵抗値が２ωで振動しているのに、電流がωで振動する、っていうのがどういう状況なのか想像しにくいのですが。外から強制的に電流を流しているのですかね。

この回答への補足

すみません、結局質問に答えられるような回答を
探し出すことができませんでした。

また何か進展があって、きっかけになるようなことがあったら
書き込ませていただきます。

補足日時：2008/12/29 11:13

この回答へのお礼

引き続きのご回答、ありがとうございます。
本当にうれしいです。

rabbit_catさんのいくつかの質問にお答えするために調べますので、
しばらくお待ちください。

お礼日時：2008/12/17 16:18

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2008/12/14 05:13

一般に、複素数Z1,Z2に対して

Re(Z1*Z2) = Re(Z1) * Re(Z2)
は成り立ちません。
というわけで、ishigaminさんが意図しているような計算はできません。

一方で、a,bを実数として
Re(a*Z1+b*Z2) = a*Re(Z1) + b*Re(Z2)
は成り立ちます（線形性）
また、Z1、Z2が別の変数（時間等）の関数だとして、
Re(d/dt Z1(t)dt) = d/dt Re(Z1(t))
Re(∫Z1(t)dt) = ∫Re(Z1(t))dt
なんかも、（電気や物理の人が普通考えるような範囲では）成り立ちます。
というわけで、こういう性質を使えるような計算なら、複素数を使って計算できます。
電気回路で出てくる計算は、普通は、こういうものが多いので、複素数で簡単に計算できる場合が多いのです。

今、ishigaminがやろうとしているのは記号をみると、つまり、抵抗値自体が時間とともに振動する場合、ていうのを考えているのでしょうか。
電気回路で、抵抗値が時間とともに振動する場合、を考えることはあまりないと思います。

この回答への補足

rabbit_catさん

アドバイスしていただき、誠にありがとうございます。

＞Re(Z1*Z2) = Re(Z1) * Re(Z2)
＞は成り立ちません。
＞というわけで、ishigaminさんが意図しているような計算はできません。

これは気づきませんでした。

＞今、ishigaminがやろうとしているのは記号をみると、つまり、抵抗値自体が時間とともに振動する場合、ていうのを考えているのでしょうか。
＞電気回路で、抵抗値が時間とともに振動する場合、を考えることはあまりないと思います。

詳細を説明します。
このR(t)は細線状金属膜の抵抗です。
この細線には周波数２ωの電力が発生します。
これにより細線の温度が周波数２ωで振動し、
細線の抵抗が
R(t)={1+ΔT(ω)exp(i2wt)}
と周波数２ωで振動することになります。

以上、論文より抜粋した文章を書きましたが、
ご理解いただけたでしょうか。

これの元は、熱伝導率を測定する一つの方法に関する論文です。
その著者が下記のような式を本文に書いていました。

V(t)
=I(t)R(t)
=I0exp(iωt)R0{1+αΔT(ω)exp(i2ωt)}
=I0R0exp(iωt)+(1/2)I0R0αΔT(ω)exp(iωt)+(1/2)I0R0αΔT(ω)exp(i3ωt)

この式の第3等号は、指数関数の計算法則上うまく行かないのでは？
と延々悩み続けています。
なので、色々試行錯誤している最中です。

rabbit_catさんはこの式をどう思われますか。
お考えを聞かせていただけると、とても助かります。

補足日時：2008/12/14 10:36

この回答へのお礼

早速のご回答、ありがとうございます。
検証するので、少し考えてみますね。

お礼日時：2008/12/14 05:26