三角関数の逆数のグラフ

y=1/tanxのグラフの書き方が全くもって
分かりません。。教えてください。
逆三角関数y=arctanxのグラフとは違うのでしょうか？

No.8 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2009/01/20 17:36

Ｎｏ．２の回答者です。

まったくＮｏ．７のご指摘の通りで、

ｙ　＝　tan（９０度　－　ｘ）
と
ｙ　＝　tanｘ
を比較すると、ｘ＝４５度　のときに両者が一致するので、
ｘ＝４５度　を軸として左右反転したグラフになります。

α　＝　９０　－　ｘ
β　＝　ｘ
と置けば、
α　＝　９０　－　β
α　－　４５　＝　４５　－　β　＝　－（β　－　４５）
という関係になりますので。


詰めの甘いことが多い私です。
失礼しました。

（Ｎｏ．７様に感謝）

No.7 回答者： chie65535 回答日時： 2009/01/20 15:33

あれれ？

＞ｘ＝９０度　を軸にして、鏡のように左右反転させたものです。

Ｙ＝ｔａｎｘのグラフをｘ＝９０で左右反転しても、ｙ＝１／ｔａｎｘのグラフに重ならなかった。

エクセルが間違う筈は無いし、エクセルでグラフを作る時に何か間違ったかな？

ｘ＝４５度を軸にして左右反転すれば重なるんだけど…。

反転軸の上では、ｔａｎｘと１／ｔａｎｘは等しい筈で、ｔａｎｘと１／ｔａｎｘが等しくなるのは１＝１／１か－１＝１／（－１）の時だから、ｔａｎｘが１か－１の時の筈。

ｔａｎｘ＝１／ｔａｎｘになるｘは４５度の筈だから、ｘ＝９０度では左右反転出来ない筈…。

ｘ＝９０度で左右反転って、何か間違ってない？

No.6 回答者： chie65535 回答日時： 2009/01/20 15:13

y=1/tanxのグラフはy=-tan(x+1/2π)となります。

y=tanxのグラフを、x軸に並行に90度右にスライドして、正と負を入れ替えて上下を逆にしたグラフがy=1/tanxのグラフです。

y=arctanxのグラフとは違います。

エクセルでグラフを描いてみました。

グラフの線は
黒色がy=1/tanx
桃色がy=tanx
黄色がy=-tan(x+1/2π)
です。

黒色のグラフと黄色のグラフが「一致して重なっている」ので、黒色の線が黄色で上書きされ、黒い線は見えません。

No.5 回答者： info22 回答日時： 2009/01/20 10:31

#3,#4です。

y=1/tan(x)
のグラフの質問についてですが
y=tanxの逆三角関数である「y=arctan(x)」のグラフとはまったく異なります。
y1=tan(x)のグラフを描き、
そのy座標の値y1の逆数y=1/y1をy座標としてグラフを書き直せば
y=1/tan(x)
のグラフが得られます。
y=1/tan(x)のグラフは周期π（180°）の周期関数です。

y=1/tan(x)の値（0≦x≦πの範囲）
（他のxの範囲は周期関数なので±nπだけx軸の方向に平行移動すればよい。）
x | 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π
y1| 0 √3/3 1 √3 +-∞ -√3 -1 -√3/3 0
y |+-∞ √3 1 √3/3 0 -√3/3 -1 -√3 +-∞
これで点をプロットして滑らかに結んでください。
ここで「+-∞」はxの値の左側が「+∞」、右側が「-∞」であることを表します。
π/6=30°、π/4=45°、π/3=60°、π/2=90°、2π/3=120°、3π/4=135°、5π/6=150°、π=180°
√3≒1.73205、√3/3=0.57735
となります。

No.4 回答者： info22 回答日時： 2009/01/19 23:41

#3です。

A#3の補足です。
y=1/tan(x) (0<x<π)…(■)

に対する逆関数は
y=arctan(1/x) (x>0の時)
y=π+arctan(1/x) (x<0の時）
となることはA#3に回答したとおりですが、
関数の定義域を
y=1/tan(x) (-π/2<x<π/2)…(●)
とした場合の逆関数が
y=arctan(1/x)
となります。
逆関数の値が一意的に決まるようにもとの関数の定義域を決める必要があり、その定義域に対応して、逆関数が異なりますので注意が必要です。
つまり、逆関数の存在条件として、元の関数と逆関数がともに一価関数であることが必要です。
tan(x)はyに対してxが複数存在しますので、一価関数となるように変数の変域や関数の値域を制限することにより、その範囲内で逆関数を求めることになります。

したがって、質問自体には、変数の変域を指定していただかないと逆関数が一意に求められませんね。

No.3 回答者： info22 回答日時： 2009/01/19 22:54

y=1/tan(x)…(A)

を直線y=xに対して対称移動させたものが逆関数のグラフになります。
つまり
x=1/tan(y)
これをyについて解けばいいです。
形式的には
1/x=tan(y)
y=arctan(1/x)
となりますが、
逆関数の条件として(A)の定義域を0<x<πとし、
xについてyが一意的に定まる必要があること。

また、atrctan(x)にも主値の
-π/2<arctan(x)<π/2
という制約があることを考慮すると

x>0で逆関数f(x)=arctan(1/x)
x<0で逆関数f(x)=π+arctan(1/x)
となります。

逆関数になっているかは、グラフを描いて見ればy=xに元のグラフと対称になっていることで確認できます。

No.2 回答者： sanori 回答日時： 2009/01/19 21:53

こんばんは。

∠Ｃが直角な、直角三角形ＡＢＣを置きます。

すると、
tan∠Ａ　＝　ＢＣ／ＡＣ
です。

同様に、
tan∠Ｂ　＝　ＡＣ／ＢＣ　＝　１／tan∠Ａ
です。

ところが、
∠Ａ　＝　９０度　－　∠Ｂ
ですので、
ｙ　＝　１／tanｘ　＝　tan（９０度　－　ｘ）
ということになります。

つまり、
ｙ　＝　１／tanｘ　のグラフは、ｙ　＝　tanｘ　のグラフを、
ｘ＝９０度　を軸にして、鏡のように左右反転させたものです。


以上、ご参考になりましたら。

この回答へのお礼

ほんとだ。
このような解きかた全然思いつかなかったです！
ちょっと感動しました。

ありがとうございます！

お礼日時：2009/01/19 22:13

No.1 回答者： owata-www 回答日時： 2009/01/19 21:29

＞逆三角関数y=arctanxのグラフとは違うのでしょうか？

違います。y=arctanxの時、x=tanyとなります。

＞y=1/tanxのグラフの書き方が全くもって分かりません
分からない時は、とりあえず微分です。微分すればどのようなxとyがどのような挙動を示すかわかります

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
微分すると、y=-1/sin^2xとなり減少関数になることがわかり、増減表を書くとグラフの形がみえました。
y=tanxのグラフをy軸対称にひっくり返して、
x方向にπ/4移動させたもの、でいいですよね？

お礼日時：2009/01/19 22:07