十分性の確認について

数学の剰余の定理の問題でわからないことがあります。たとえば、
整式P(x)をx-1で割ると余りは5、x-2で割ると余りは7となる。このとき、P(x)をx^2-3x+2で割った余りを求めよ。
という問題で、参考書の解答では、
P(x)をx^2-3x+2で割った商をQ(x)、余りをax+bとおくと
P(x)=(x-1)(x-2)Q(x)+ax+b
条件から　P(1)=5　P(2)=7
a+b=5 2a+b=7
よってa=2 b=3 求める余りは2x+3
となっているのですが、ここで十分性の確認は必要ないのでしょうか。恒等式の数値代入法でも十分性の確認が必要だったように、この
問題でも必要な気がするのです。xが1と2の場合しか考えていないので、他のｘでも成り立つ保証はないと思うのですが…
教えてください。お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： R_Earl 回答日時： 2009/04/07 01:35

> 他のｘでも成り立つ保証はないと思うのですが…

何が成り立たないのでしょうか？

> ここで十分性の確認は必要ないのでしょうか。

細部を無視し、ある程度噛み砕いて話をします。

P(1)を計算しているのは、x = 1の時に「何か」が成り立つかどうかを
見ているわけではありません。

『整式P(x)を(x - a)で割った余りは、P(a)と一致する』というのが剰余の定理ですよね。
この定理は文字式xを使ったまま話をしています。
つまりこの定理は

『xがどんな値であれ、整式P(x)を(x - a)で割った余りはP(a)と一致する』

と言っているんです。

P(1)を計算したのは、「整式P(x)を(x - 1)で割った余りを求めたいから」です。
P(1) = a + bとなったので、剰余の定理より

『xがどんな値であれ、整式P(x)を(x - 1)で割った余りはP(1) = a + bになる』

となるんです。

つまり剰余の定理を使っている時点で、
「全てのxで成り立つ」と言えるんです。

No.3 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/04/07 23:20

P(x)をx^2-3x+2で割った商をQ(x)、余りをax+bと置くことができる…すなわち、

P(x) = (x^2-3x+2)・Q(x) + (ax + b) が x について恒等的に成り立つような
多項式 Q(x) と一次式 ax + b が存在することが、知られているので、
この時点で、十分性は保証されているのです。

No.2 回答者： koko_u_u 回答日時： 2009/04/07 04:36

>ここで十分性の確認は必要ないのでしょうか。

十分性を確認するとして、何を確認するのでしょうか？

>xが1と2の場合しか考えていないので、他のｘでも成り立つ保証はないと思うのですが…

他の x を代入して成り立つことを示したとして、整式としての余りが 2x+3 であることを示すのに「十分」だと言えますか？


疑問に思うことは良いことです。さらに考えましょう。