ユニタリー変換と交換関係

ユニタリー演算子Uをエルミート演算子Gを用いて
U = exp[iaG] (i：虚数,a：実定数)
と表し、ある演算子Aが
UAU^† = A
を満たすとき、交換関係
[G,A] = 0
が成り立つそうなのですが、どう証明したらよいかがわかりません。

何かヒントをいただけたらと思います。よろしくお願いします。

No.1 回答者： PRFRD 回答日時： 2009/05/13 05:57

成り立ちません．例えば

　G = |0 1|, a = 2π
　　　|1 0|
とおくと U = I (単位行列) になるので，
　A = |1 0|
　　　|0 0|
とでも置けば，UAU^† = A は成り立ちますが，[G, A] ≠ O です．

任意の a に対して UAU^† = A が成り立つ，とかでしょうか？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
一応「成り立つ」という結果は得られるはずなんですが...

お礼日時：2009/05/16 02:39

No.2 回答者： de_Raemon 回答日時： 2009/05/13 13:42

UとU^†を展開して

U = I+iaG+… , U^† = I-iaG+… 　(1)
ゆえに
UAU^† = (I+iaG+…)A(I-iaG+…) = A+ia[G,A]+… = A (2)
(2)が任意のaに対して成り立つには
[G,A] = 0 (3)
が成り立たなねばならないと思います。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
展開の際、２次以降の項にG^2等が出てきますが、それの処理はどうなるのでしょうか？

補足日時：2009/05/16 02:41

No.3 回答者： Akira_Oji 回答日時： 2009/05/14 04:47

ユニタリー演算子Uをエルミート演算子Gとすれば、

U^†＝U^(-1)
G^†＝G

ある演算子Aが
UAU^† = A

を満たすとき、右からUを両辺にかけて、U^†U=I　より
UAU^†U = AU　-->　　UA=AU　-->　UA-AU=0

この最後の式にU = exp[iaG]を代入して、
exp[iaG]A-Aexp[iaG]＝０

両辺をaで微分して
iGexp[iaG]A-AiGexp[iaG]＝０

iで割って、
Gexp[iaG]A-AGexp[iaG]＝０

U = exp[iaG]を代入して
GUA-AGU＝０

第１項でUA=AUを使えば、
GAU-AGU＝０　

右から両辺にU^†をかければ、
GA-AG=0

これより、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[G,A] = 0

何か問題点はありますか。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

aで微分する際、
exp[iaG]∂A/∂a - ∂A/∂a exp[iaG]
の項が出てきますが、これが0であるというのは自明なのでしょうか？
演算子の微分は演算子のままだと思うのですが。。確信はないですけれど。
だとしたら順番の入れ替えはできないので何か変形が必要になりますよね？

補足日時：2009/05/16 02:43

No.4 ベストアンサー 回答者： de_Raemon 回答日時： 2009/05/17 08:42

No.2です。

(2)式は
ia[G,A]+(aの二次以上の項) = 0
と書けますが、左辺はaのべき級数なのでこれが恒等的に0になるためには
aの各次数の係数がすべて0である必要があります。たとえばa^2の係数
-(1/2)((G^2)A+A(G^2))+GAG = 0
です。
この問題できかれているのがaの一次の係数に含まれる[G,A]の値だけなので、
aの二次以上については言及する必要はないと思いますが上記のように各次数
の係数はすべて0になってます。

この回答へのお礼

あ、勘違いしてました。
(I+iaG+…)A(I-iaG+…) = A+ia[G,A]+… = A
は「成り立つはず」なんですよね。最後の等号は
UAU^† = A
から得られるんですよね。２次以降は関係なかったです、すみません。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2009/05/18 00:15

No.5 回答者： Akira_Oji 回答日時： 2009/05/18 06:46

（質問）

「aで微分する際、
exp[iaG]∂A/∂a - ∂A/∂a exp[iaG]
の項が出てきますが、これが0であるというのは自明なのでしょうか？
演算子の微分は演算子のままだと思うのですが。。確信はないですけれど。
だとしたら順番の入れ替えはできないので何か変形が必要になりますよね？」

（答）
Ｕには定義よりａは含まれますが、Ａは「ある演算子」なのでａは含まれていないと考えられます。（Ｇにもａは含まれていないと考えられます。さもなければ、（∂/∂a）Ｇの因子も出てくることになります。したがって、ここでは、”ａ”は単なるパラメータと考えています。）

ただし、
exp[iaG]A-Aexp[iaG]＝０
の両辺をａで微分するとき、すなわちexp[iaG]をａで微分するとき、
（∂/∂a）exp[iaG]=iG・exp[iaG]
か
（∂/∂a）exp[iaG]=exp[iaG]・iG
かという疑問は起こります。しかし、exp[iaG]は「iaGのべき級数」で定義されていますので、exp[iaG]は演算子としてはＧしか含んでいないので、exp[iaG]とＧは可換です。（Ｇ＾ｎ）Ｇ＝Ｇ＾（ｎ＋１）=G(G^n)

両辺をaで微分して
iGexp[iaG]A-AiGexp[iaG]＝０
となります。
もちろん、ＧとＡは一般には可換ではないので、そこは交換できません。もし、可換なら初めから[G,A] = 0となります。
私たちが使ったのは、
「ある演算子Aが　UAU^† = A　を満たす」という条件だけです。

この回答へのお礼

＞”ａ”は単なるパラメータと考えています。
パラメータとして扱うというのに少し抵抗がありますが、恐らくそういうものなのだろうと今は飲み込んでおきます。
また似たような問題に出くわしたとき、詳しく勉強してみようと思います。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2009/05/18 23:38