sin(π/2)x^2の積分をしたいのですが、x^2の処理がわかりません。
置換積分ではないようなので部分積分なのかなとは思うのですが。
どなたか教えていただきたいです。

A 回答 (2件)

sin{(π/2)x^2}


の不定積分は解析的には積分できません。
つまりこの積分は初等関数では表せないということです。
大学レベルでは、超越関数(特殊関数)として定義された
Fresnel正弦関数S(x)として知られた積分関数です。
定積分は数値積分すれば求まります。

参考URLに S(x)の定義と関数のグラフがあり、S(x)の数値計算をしてくれます。

参考URL:http://keisan.casio.jp/has10/SpecExec.cgi
    • good
    • 0

その式は (sin(π/2))x^2 と sin ((π/2)x^2) のどっち?


後者は初等的に不定積分できないような気がする.
    • good
    • 1

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q数IIIの積分法なんですが置換積分と部分積分法の公式のどっちを使って問題と

数IIIの積分法なんですが置換積分と部分積分法の公式のどっちを使って問題とくかわかりません。問題のどの部分を見てどちらの公式を使うか教えて下さい。

Aベストアンサー

まず置換積分できるか調べましょう.このためには被積分関数を二つの関数の積と考え,一方の関数が他方の関数の原始関数の関数になっていれば置換積分が使えます.すなわち,被積分関数を f(x)g(x) と表したとき,G'(x)=g(x) である G(x) を用いて f(x)=h(G(x)) となる関数 h(u) が見つかれば
∫f(x)g(x)dx = ∫h(G(x))G'(x)dx = ∫h(u)du
です.例えば
(log 2x)/(x log x^2) = h(log x){log x}'
h(u) = (u + log 2) / 2 u = 1/2 + (log 2)/2u
だから
∫(log 2x)/(x log x^2)dx = (1/2){log x + (log 2)log(log x)} + C
となります.
置換積分がダメそうなら部分積分できるか調べましょう.概してこちらの方が調べるのが面倒です(とくに漸化式を使う場合).

Qsin^2(x)sin(2x)の0からπ/2の範囲での積分について sin^2(x)sin(2x)

sin^2(x)sin(2x)の0からπ/2の範囲での積分について

sin^2(x)sin(2x)の0からπ/2の範囲での積分がどうしても解けず、困っています。
わかる方がいらっしゃいましたら、計算過程も含め、教えていただけないでしょうか?

Aベストアンサー

No.1です。
さっきの
<sin^2(x)={1―cos(2x)}/2の公式をつかって、cos(2x)sin(2x)の積分はsin(2x)=tとおいて
置換積分しよう。>
は誤りではないけど、
<sin^2(x)={1―cos(2x)}/2の公式をつかって、cos(2x)sin(2x)はさらに{sin(4x)}/2 と変形しよう>
のほうがよりやりやすい。ごめんなさい(汗)。

Q積分公式の記述での使い方

記述式の問題で積分公式(インテグラル無しで面積を求められるやつです)を使っても減点はないでしょうか。


例えば、こんな感じで

積分公式よりS=~



積分公式は教科書に載っていないので、こういう使い方が受験に通じるのか不安です。回答お願いします。

Aベストアンサー

こんばんわ。

確かに「積分公式」ってなんのことでしょうか?
それも「インテグラル無しで面積を求められるやつ」とは・・・?

もしかして、次のような式のことですか?
∫[α→β] (x-α)(x-β) dx= -1/6* (β-α)^3

いずれにしても、
>積分公式よりS=~
といった表現では通用しません。
すでに、ここの質問でも通用していないくらいですから。

単に積分の計算であれば、とくに明記せずに用いてもいいと思います。
この式自体を示せと言われれば、きちんと計算しないといけません。

Qcos^2(x+(π/3))+cos^2(x+(2π/3))+cos^2(x+π) 。簡単な方法で。

質問文が分かりづらいので書き直しました。

cos^2(x+(π/3))+cos^2(x+(2π/3))+cos^2(x+π)
を出来るだけ簡単な方法で解いてください。
答えは3/2です。

前回読みにくい質問文でしたのにお答えいただきましたspring135さまありがとうございました。前回も大変助かりました。

Aベストアンサー

(cos(a))^2=(1/2)+(1/2)cos(2a)
Σ[k=1~n]cos(x+2πk/n) は単位円の円周を等分割する
点のx座標の和なので 0

(cos(x+π/3)^2+(cos(x+2π/3))^2+(cos(x+π))^2
=(3/2)+(1/2){cos(2x+2π/3)+cos(2x+4π/3)+cos(2x+2π)}=3/2

Q分点座標が±0.5のGauss-Legendre積分公式を知りませんか。

高精度化が必要な数値計算をやっています。
特に、数値積分の高精度化が必要なため、Gauss-Legendre積分公式の使用を考えています。
ただし、解く方程式が積分方程式であるなどの理由からそのままでは使用できません。
使用するためには、Gauss-Legendre積分公式の分点座標が区間の中心である必要があります。
例えば、分点数が2の場合、通常は座標x=±0.57735...重みw=1ですが、これを座標x=±0.5とできるような積分公式はないでしょうか?

Aベストアンサー

ううむ。これだけじゃ回答しようがないと思うなあ。

 ガウス・ルジャンドルの数値積分というのは、f(x)を-1~1の区間で積分するときに、n次ルジャンドル関数の零点にあたるxでf(x)をサンプリングして重み付きの和を取るんでした。無論、積分区間内に特異点があったりしたら使えません。一般に積分範囲が x=a~b である場合には
x=((b-a)t+a+b)/2
と変数変換すれば、t=-1~1のtに関する積分になる。そしてdx/dt = (b-a)/2という因子を掛け算しておけば良いですね。n次のガウス・ルジャンドル法は、高々n次の多項式で近似できるf(x)を扱う場合に旨く行きます。

 さて、ご質問は、おそらく積分範囲 x=-1~1に対してガウス・ルジャンドルの数値積分を使いたいけれど、次数を2にして、分点、すなわちサンプリングする点を±0.5だけにしたい、という注文です。たぶん、±0.5における被積分関数f(x)の値なら簡単に求められる、というのでしょう。
 もちろん、適当な一次式ではない関数g(たとえば3次関数)を用いて
x=g(t)
という変数変換でx=±0.5をt=±0.57.... に移し同時にx=±1をt=±1に移す、ということ自体は簡単です。するとf(g(t))と
dx/dt = g'(t)
の積を被積分関数としてt=-1~1について積分することになります。この場合、被積分関数 f(g(t)) g'(t) がtの2次多項式で近似できるんでないと、2次のガウス・ルジャンドル法を使って精度が出るという保証はありません。
 高精度の数値積分をやりたいと仰っている割に、f(x)が高々低次の多項式で近似してしまえるんだったら、何もガウス・ルジャンドル法に拘る必要はないんで、例えばニュートン・コーツ型の数値積分、すなわち分点を等間隔に取る方法でも十分じゃないの?と思うんですが、どうなんでしょうね。

 或いは分点の数をもっと増やして良い、というのだったら、代わりに例えば-1~-0.5, -0.5~0.5, 0.5~1の3つの区間に分けてそれぞれ積分するのでも良い。被積分関数の傾きが急な部分でサンプリングを細かくしてやるというのも精度が出ますし、その代わりに適当な変数変換をして等間隔サンプリングしたり、ガウス・ルジャンドル法を使ったり…いろんな処方が考えられます。

 ですから、「±0.5」と限定なさる理由をもう少し明確に補足して戴くか、具体的に被積分関数をupして戴かないと、ろくな回答にならないと思います。

ううむ。これだけじゃ回答しようがないと思うなあ。

 ガウス・ルジャンドルの数値積分というのは、f(x)を-1~1の区間で積分するときに、n次ルジャンドル関数の零点にあたるxでf(x)をサンプリングして重み付きの和を取るんでした。無論、積分区間内に特異点があったりしたら使えません。一般に積分範囲が x=a~b である場合には
x=((b-a)t+a+b)/2
と変数変換すれば、t=-1~1のtに関する積分になる。そしてdx/dt = (b-a)/2という因子を掛け算しておけば良いですね。n次のガウス・ルジャンドル法は、高々n次の...続きを読む

Q定積分∫[0~π/2]log{a^2(cos x)^2+b^2(sin

定積分∫[0~π/2]log{a^2(cos x)^2+b^2(sin x)^2}dxの回答をわかりやすく教えてください。お願いしますm(__)m

Aベストアンサー

定積分∫[0~π/2]log{a^2(cos x)^2+b^2(sin x)^2}dx  (a>0,b>0)

与式=∫[0~π/2]log{(a^2(cos x)^2)(1+(b/a)^2・(tanx)^2)}dx
  =∫[0~π/2]log(a^2(cos x)^2)dx+∫[0~π/2]log((1+(b/a)^2・(tanx)^2)dx
  =2∫[0~π/2]log(a)dx+2∫[0~π/2]log(cos x)dx+∫[0~π/2]log(1+(b/a)^2・(tanx)^2)dx
  =πlog(a)-πlog(2)+∫[0~∞]log(1+(b/a)^2・t^2)/(1+t^2)dt
  =πlog(a)-πlog(2)+πlog(1+(b/a))
  =π(log(a)-log(2)+log(a+b)-log(a))
  =πlog{(a+b)/2}

・・・としてみたものの、ちと難しい。3項目の積分は多分(留数の定理・・?)を使って積分値を計算出来るとは思うが・・・?
一応公式集に3項目の定積分の値があったので利用した。

定積分∫[0~π/2]log{a^2(cos x)^2+b^2(sin x)^2}dx  (a>0,b>0)

与式=∫[0~π/2]log{(a^2(cos x)^2)(1+(b/a)^2・(tanx)^2)}dx
  =∫[0~π/2]log(a^2(cos x)^2)dx+∫[0~π/2]log((1+(b/a)^2・(tanx)^2)dx
  =2∫[0~π/2]log(a)dx+2∫[0~π/2]log(cos x)dx+∫[0~π/2]log(1+(b/a)^2・(tanx)^2)dx
  =πlog(a)-πlog(2)+∫[0~∞]log(1+(b/a)^2・t^2)/(1+t^2)dt
  =πlog(a)-πlog(2)+πlog(1+(b/a))
  =π(log(a)-log(2)+log(a+b)-log(a))
  =πlog{(a+b)/2}

・・・としてみたものの、ちと難...続きを読む

Q数学II「微分・積分」で面積を求める公式

6分の1の公式や3分の1の公式みたいに、積分を利用せずに面積を求められる公式って他にありませんか?

Aベストアンサー

(1)や(2)は高校数学のレベルで十分理解できると思います。
これらは,数値積分と呼ばれるもので,近似的に積分(求積)を実現しています。
参考になれば良いのですが。

(1)台形法
(2)シンプソン法
(3)ルンゲ・クッタ法

Q-r^8(x-sin(x))^4(-3x+5xcos(x)-2sin(x))/(32x^3)=0

-r^8(x-sin(x))^4(-3x+5xcos(x)-2sin(x))/(32x^3)=0
の解き方を教えてください。

解はx=5.28であることを教えていただいています。

-r^8(x-sin(x))^4(-3x+5xcos(x)-2sin(x))/(32x^3)=0
を微分して、ニュートン法によって解く方法を教えてください。

それ以外に解く方法があれば、教えてください。

Aベストアンサー

式の先頭の「-r^8」はなんですか?

Q積分の公式の導出について

積分の公式の導出について

∫{(ax+b)^n}dxの積分公式は、(((ax+b)^n+1)/a(n+1))
なのですが、どのようにすれば導出できるのでしょうか?

ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

ax+b=s とおくと ds/dx=a つまり dx=ds/a
従って 与式=∫s^n/a ds
あとは積分してsを元に戻すだけです。

Q方程式{(x-sin(x))^4*(-3x+5xcos(x)-2sin(x))}/(32x^3)=0

方程式{(x-sin(x))^4*(-3x+5xcos(x)-2sin(x))}/(32x^3)=0

を解きたいです。

どなたか解法を教えてください。

ニュートン法で解く方法を教えてください。

微分の式などできるだけ途中の式も省かずに教えてください。

解は、x=5.28前後だと思います。

Aベストアンサー

-3x + 5xcos(x) - 2sin(x) = 0 …1
または
x-sin(x) = 0 …2
で、2よりx = 0ですが0は不適(分母が0になるので)なので1のみを考えればよいでしょう。

f(x) = -3x + 5xcos(x) - 2sin(x)

として、あとは
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8B%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E6%B3%95
でも見ながら頑張ってください。


人気Q&Aランキング

おすすめ情報