ラプラス変換で
次の伝達関数で表わされるシステムのインパルス応答g(t)と
ステップ応答y(t)を求めよという問題です。
G(s)=2/(s^2+2s+2)

僕はこれをG(s)=2・[1/{(s+1)^2+1}]と変形し
ラプラス逆変換の公式から
g(t)=2{e^(-t)}sintとしました。
次にこれからステップ応答を求める時に
(1){2/(s^2+2s+2)}(1/s)を逆変換するやり方
(2)g(t)を0からtまで積分するやり方
の2通りで求めました。
(1)でやると
{2/(s^2+2s+2)}(1/s)=(1/s)-[(s+1)/{(s+1)^2+1}])-[1/{(s+1)^2+1}]
と変形できることより、変換の公式をつかって
y(t)=u_s(t)-{e^(-t)}cost-{e^(-t)}sintとなりました。
(ただしu_s(t)は単位ステップ応答)
一方(2)でやると
y(t)=2∫[0→t][{e^(-t)}sint]dt
=1-{e^(-t)}cost-{e^(-t)}sint
となって答えが違くなってしまったのですが、"u_s(t)"と"1"のどちらを正解とすればよいのでしょうか。
u_s(t)は「t≧0では1,t<0では0」「1」とは違いますよね。
なんだかわからないのはステップ関数がよくわかってないことが原因の気がします。詳しい方、この解答でよいのかどうかお願いします。

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A 回答 (2件)

通常使っているラプラス変換(片側ラプラス変換)では、t>0の範囲しか扱いませんので、u(t)も1も同じ扱いになります。

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ラプラス変換するときって基本的に時間 t ≧ 0 しか考えないから


「単位ステップ関数と定数 1 は同じ」
と思っていいような気がする.
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Q一次遅れ系の制御における時定数Tの求め方

計量士の資格を勉強していると自動制御の問題が出てきました。

単位ステップ応答は1-exp(t/T)である。
一次遅れ系の時定数Tの求め方として2つの方法がある。
一つは、1-exp(-t/T)が63.2%になったとき。
もう一つは、過渡応答曲線の原点での接線が定常値に交わるまでの原点からの時間を求める。
とあります。
ここで質問なのですが、この過渡応答曲線とは、1-exp(-t/T)の曲線のことでしょうか?

また単位インパルス応答はexp(-t/T)です。
これが36.8%になったとき時定数Tを求められることは知っているのですが、
同様に、過渡応答曲線の原点での接線が定常値に交わるまでの
原点からの時間を求めると時定数Tを求められるのでしょうか?

Aベストアンサー

>この過渡応答曲線とは、1-exp(-t/T)の曲線のことでしょうか?
そうです。
t=Tとおくと、このときの振幅v(T)=1-exp(-T/T)=1-exp(-1)≒0.6321
と定常値の振幅1に対して0.6321は63.21%にあたります。

>原点からの時間を求めると時定数Tを求められるのでしょうか?
求められます。

過渡応答曲線v(t)=exp(-t/T)に対して、t=0における接線は
u(t)=1-(t/T)ですので、u(t)=0(定常値)になる時間は
1-(t/T)=0からt=T(時定数)が求められます。
このときの振幅はv(T)=exp(-T/T)=exp(-1)≒0.3679
これは定常値(0)までの振幅1に対して36.79%にあたります。

Qブロック線図の簡略化について。 伝達関数のブロック線図の簡略化でわからない問題があります。 写真の

ブロック線図の簡略化について。

伝達関数のブロック線図の簡略化でわからない問題があります。
写真の問題で答えは下に書いてありますが、どのようにして導けるのか分かりません。

基本的な縦続や並列、フィードバックや加え合わせ点の移動などは理解しています。

ご教授お願いします。

Aベストアンサー

簡略化の過程を添付図で説明します。

 まず(a)から(b)へ
G2の入力信号G2_inはG1の出力とG3の出力が加算されてますのでこれをyとxを使った式で表しますと、

   G2_in=xG3+(x-yH)G1   (1)

この式を書き直し変形して

   G2_in=x(G1+G3)-yG1H   (2)

と表されます。
 この式(2)をもとにブロック図(a)を書き直すと(b)のように書き直せます。
 それを(c)のように書き直せます。(c)から先は簡単なので省略します。

Q一巡伝達関数と開ループ伝達関数

一巡伝達関数と開ループ伝達関数は何が違うのでしょうか?
本によって定義がまちまちで、あまり正しい定義がないのかなと思ってしまいますが、ちゃんとした定義が存在するのでしょうか?
インターネットでは一巡伝達関数と開ループ伝達関数は同一視していますが、私の学校の教科書では開ループ伝達関数はフィードバック系を取り除いたときのもの(すなわちC(S)P(S))、一巡伝達関数は閉ループ系を一巡したときのもの(すなわちC(S)P(S)H(S))となっています。

ご存じの方がいたらご教授よろしくお願いします。

Aベストアンサー

教科書の定義が正しいです。

一巡伝達関数は、ループをどこかで切り開いた時に、ループ全体一周する伝達関数で、ループの安定性(位相余裕など)なんかを調べるときに使います。

開ループ伝達関数は、ループをどこかで切り開いた時に、入力と出力の比です。

つまり、ループを切り開いて考えるのは同じですが、一巡伝達関数がループを一周(フィードバックの要素も考える)のに対して、開ループ伝達関数は入力と出力の比です(したがってフィードバックの要素は考えない)。

フィードバックの要素がない場合には、2つは同じになります。

Qボード線図の書き方についてわかりません

たとえば伝達関数が
G(s)=k/1+Ts 
の形ならば、ゲイン、位相差について書き方がわかるのですが

レポートで
G(s)=1/2s^2+3s+1
という問題が出まして
ゲイン、位相は計算としてはできたのですが、図が描けません。
横軸が普通1/Tなどなので
そこをどう設定して、どう描けばよいかわかりません。

恥ずかしながら苦手な分野なので
なるでく詳しい解説を所望いたします。

Aベストアンサー

図の詳しい描き方を習ってないのかな。
伝達関数の"掛け算"は、ボード線図上では"足し算"になります。(ゲインはlogをとったため.位相は、expの性質から)

G(s)=1/2s^2+3s+1 = {1/(2s+1)}・{1/(s+1)}となりますから、
1/(2s+1)・・・(1)
1/(s+1)・・・(2)
という1次系システムの掛け算になっています。
この2つのボード線図を書いて、それぞれ足しあわせればいいです。

もうちょっと詳しくいうと、(横軸の単位省略します)
(1)はT=2なので横軸が0.5のところで曲がりますね。
(2)は横軸が1のとこで曲がりますね。

この(1)と(2)の図をそれぞれ描いてください。
0.5までは両者とも0[dB]を取るので、0[dB]+0[dB]=0[dB]
0.5~1.0までは(1)が-20[dB/dec]、(2)が0[dB]
1.0以降は両者とも-20[dB/dec]になります。

このため、Gのゲイン千頭は,0.5まで0[dB]
0.5~1.0は-20[dB/dec]
1.0~は-40[dB/dec]
のグラフになります。

ボード線図は、制御工学上でめちゃくちゃ重要な図なので、いまのうちに得意にしておいたほうがいいですよ。
(後々、PIDとか位相進み遅れとか、ゲイン余裕・位相余裕・ループ整形とかやるかと思いますが、ボード線図を読めないとおわります)

演習本なんかは『演習で学ぶ基礎制御工学』なんかをお勧めします。

図の詳しい描き方を習ってないのかな。
伝達関数の"掛け算"は、ボード線図上では"足し算"になります。(ゲインはlogをとったため.位相は、expの性質から)

G(s)=1/2s^2+3s+1 = {1/(2s+1)}・{1/(s+1)}となりますから、
1/(2s+1)・・・(1)
1/(s+1)・・・(2)
という1次系システムの掛け算になっています。
この2つのボード線図を書いて、それぞれ足しあわせればいいです。

もうちょっと詳しくいうと、(横軸の単位省略します)
(1)はT=2なので横軸が0.5のところで曲がりますね。
(2)は横軸...続きを読む

Q制御工学のブロック線図の問題です

図に示すフィードバック制御系について
外乱D(s)から偏差E(s)までの伝達関数がG=-G(s)/1+G(s)C(s)となることを示せ。とあります。
普通のRからYまでの伝達関数の求め方は分かるのですが、このような場合はどう考えたらよいのですか?

Aベストアンサー

>外乱D(s)から偏差E(s)までの伝達関数がG=-G(s)/1+G(s)C(s)となることを示せ。....

R(s) = 0 として、あとは普通の伝達関数と同様。

E(s) の出力は -y .
一巡すれば、
 {C(s)(-y) + D(s)}*G(s) = y
これを整理して伝達関数 (-y)/D(s) を求める。
 {1 + G(s)C(s)}(-y) = -G(s)D(s)
 (-y)/D(s) = -G(s)/{1 + G(s)C(s)}  // Q.E.D.
 

Q行列の正定・半正定・負定

行列の正定・半正定・負定について自分なりに調べてみたのですが、
イマイチ良くわかりません。。。
どなたか上手く説明していただけないでしょうか?
過去の質問の回答に

>cを列ベクトル、Aを行列とする。
>(cの転置)Ac>0
>となればAは正定値といいます。
>Aの固有値が全て正であることとも同値です。

とあったのですが、このcの列ベクトルというのは
任意なのでしょうか?
また、半正定は固有値に+と-が交じっていて、
負定は固有値が-のみなのですか?

どなたかお願いしますorz

Aベストアンサー

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
(cの転置)Ac>0とは限りません。
例えば、
A =
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は1です。
しかし、
(cの転置) = [ 1, -2]
とすると、
(cの転置)Ac = -3 < 0
となってしまいます。(実際に計算して確かめてください。)
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。

また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』 --> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて0以上です。(つまり0も許します。)
逆に、対称行列の固有値がすべて0以上なら、その行列は半正定値です。

さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルcに対して
(cの転置)Ac<0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列...続きを読む

Q遮断周波数のゲインがなぜ-3dBとなるのか?

私が知っている遮断周波数の知識は・・・
遮断周波数とはシステム応答の限界であり、それを超えると減衰する。
<遮断周波数の定義>
出力電力が入力電力の1/2となる周波数を指す。
電力は電圧の2乗に比例するので
Vout / Vin = 1 / √2
となるので
ゲインG=20log( 1 / √2 )=-3dB
となる。

ここで、なぜ出力電力が入力電力の1/2(Vout / Vin = 1 / √2)
となるのでしょうか?
定義として見るにしてもなぜこう定義するのか
ご存じの方いらっしゃいましたら教えて下さい。

Aベストアンサー

>ここで、なぜ出力電力が入力電力の1/2(Vout / Vin = 1 / √2)
>となるのでしょうか?
>定義として見るにしてもなぜこう定義するのか

端的に言えば、
"通過するエネルギー"<"遮断されるエネルギー"
"通過するエネルギー">"遮断されるエネルギー"
が、変わる境目だからです。

>遮断周波数とはシステム応答の限界であり、それを超えると減衰する。
これは、少々誤解を招く表現です。
減衰自体は"遮断周波数"に至る前から始まります。(-3dBに至る前に、-2dBとか、-1dBになる周波数があります)

Qカットオフ周波数とは何ですか?

ウィキペディアに以下のように書いてました。

遮断周波数(しゃだんしゅうはすう)またはカットオフ周波数(英: Cutoff frequency)とは、物理学や電気工学におけるシステム応答の限界であり、それを超えると入力されたエネルギーは減衰したり反射したりする。典型例として次のような定義がある。
電子回路の遮断周波数: その周波数を越えると(あるいは下回ると)回路の利得が通常値の 3 dB 低下する。
導波管で伝送可能な最低周波数(あるいは最大波長)。
遮断周波数は、プラズマ振動にもあり、場の量子論における繰り込みに関連した概念にも用いられる。


ですがよくわかりません。
わかりやすく言うとどういったことなのですか?

Aベストアンサー

>電子回路の遮断周波数: その周波数を越えると(あるいは下回ると)回路の利得が通常値の 3 dB 低下する。
>導波管で伝送可能な最低周波数(あるいは最大波長)。
>遮断周波数は、プラズマ振動にもあり、場の量子論における繰り込みに関連した概念にも用いられる。

簡単にいうと、一口に「カットオフ周波数」と言っても分野によって意味が違う。
電子回路屋が「カットオフ周波数」と言うときと、導波管の設計屋さんが「カットオフ周波数」と言うとき
言葉こそ同じ「カットオフ周波数」でも、意味は違うって事です。



電子回路の遮断周波数の場合
-3dB はエネルギー量にして1/2である事を意味します。
つまり、-3dBなるカットオフ周波数とは

「エネルギーの半分以上が通過するといえる」

「エネルギーの半分以上が遮断されるといえる」
の境目です。

>カットオフ周波数は影響がないと考える周波数のことでよろしいでしょうか?
いいえ
例えば高い周波数を通すフィルタがあるとして、カットオフ周波数が1000Hzの場合
1010Hzだと51%通過
1000Hzだと50%通過
990Hzだと49%通過
というようなものをイメージすると解り易いかも。

>電子回路の遮断周波数: その周波数を越えると(あるいは下回ると)回路の利得が通常値の 3 dB 低下する。
>導波管で伝送可能な最低周波数(あるいは最大波長)。
>遮断周波数は、プラズマ振動にもあり、場の量子論における繰り込みに関連した概念にも用いられる。

簡単にいうと、一口に「カットオフ周波数」と言っても分野によって意味が違う。
電子回路屋が「カットオフ周波数」と言うときと、導波管の設計屋さんが「カットオフ周波数」と言うとき
言葉こそ同じ「カットオフ周波数」でも、意味は違うって事です...続きを読む

Q減衰係数について

電気回路やフィルタなどで減衰係数ζってありますよね。
あれがなんなのか教えてほしいです。何が減衰するんですか?
ζ=1が望ましいのですか?

Aベストアンサー

学部2年生です。授業で習った範囲内で回答をます。参考になれば幸いです。。
減衰係数とは、振動減衰(ダンピング)の特性を定めるものです。
物理的に言えばダンパ係数のことです。
私は学科では制御理論(制御工学)をメインに習っていて、電気、機械を制御的な側面で習っているので、電気系の方とは用語や見方がちょっと違うかもしれません^^;

二次系(二次遅れ系)の応答はわかりますか?
二次系のステップ応答(インディシャル応答)やボード線図を知ってるとイメージしやすいと思います。
減衰係数によって、このシステムの応答の振動性(減衰特性)が決まります。値としては
0<ζ<1 不足制動(アンダーダンピング)。振動的になります。
ζ=1  臨界減衰(振動しなくなる限界)
ζ>1   過制動(オーバーダンピング)。振動しなくなります。
って感じです。
つまり、ζが1より小さければより振動的に、ζが1より大きければ振動は起きません(しかし、目標値に到達する時間が遅くなります)。
だからといって、ζ=1が望ましいわけではありません。
オーバーシュートをどこまで認めるか、状況によって定める必要があるかと思います。普通、ζは0.6~0.8程度にして、若干オーバーシュートさせ、過渡応答(速応性、減衰特性)が望ましくなるようにするようです。

二次系の応答がわからないかもしれないので、電気回路で説明します。確かマルチプルフィードバック型のLPFなんかは二次系の伝達関数をしていたかと思います。
この場合、ζを小さくしすぎると、遮断周波数辺りでオーバーシュートがおきて、この周辺のゲインがでっかくなりすぎます。(ローパスフィルタのゲイン線図で、遮断周波数のところのゲインが急に盛り上がっている感じです)。
逆にζを大きくしすぎると、遮断周波数でのゲインがどんどん下がっていっちゃいます(バンド幅が減ります)。

学部2年生です。授業で習った範囲内で回答をます。参考になれば幸いです。。
減衰係数とは、振動減衰(ダンピング)の特性を定めるものです。
物理的に言えばダンパ係数のことです。
私は学科では制御理論(制御工学)をメインに習っていて、電気、機械を制御的な側面で習っているので、電気系の方とは用語や見方がちょっと違うかもしれません^^;

二次系(二次遅れ系)の応答はわかりますか?
二次系のステップ応答(インディシャル応答)やボード線図を知ってるとイメージしやすいと思います。
減衰係数...続きを読む

QP制御、PI制御、PID制御それぞれメリット、デメリットを教えてくれま

P制御、PI制御、PID制御それぞれメリット、デメリットを教えてくれませんか?
レポート課題で困っています。調べてみたが良くわかりませんでした。

Aベストアンサー

制御の基本は、P(比例)動作ですが、P動作だけでは通常オフセット(目標値との残留偏差)が生じます。このため、P動作のオフセットを無くすため、I(積分)動作を加え、設定値との偏差をなくすようにします。また、D動作を加えることにより、偏差を単時間に修正することができますが、積分時間を短く設定しすぎると、ハンチングが起きやすく、安定した制御が得られなくなります。D(微分)動作は、偏差の少ないうちに大きな修正動作を加え、制御結果が大きく変動するのを防ぐことができるます。ただし、微分時間を長く設定しすぎると、小さな変化に対しても、大きな出力が出てしまう為、ハンチングが生じ、制御性が安定しなくなります。

詳しくは、以下のURLを参照のこと。

参考URL:http://www.compoclub.com/products/knowledge/jidou_seigyo/jidou_seigyo4.html


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