costの微分は (-sint)でsintの微分はcostですね。
ところで円上の点(cost,sint)の接線の方向ベクトルは
点が第1象限で考えると上方なら、たしかに (-sint,cost)ですが下方に伸びるとすれば(sint,-cost)になると思うのですが、これはどう理解したらよかったのか、ふと今疑問に思うのですが

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A 回答 (5件)

半径1の円をパラメーター表示しようとすれば、


  (x,y) = (cos(t),sin(t))   (0≦t≦2π)
と書くことが出来ます。
これで考えれば、接線の方向ベクトルは(-sin(t),cos(t))です。

また同じく半径1の円をパラメーター表示する方法には
  (x,y) = (-cos(t),-sin(t))   (0≦t≦2π)
という書き方もあるのです、
これで考えれば、接線の方向ベクトルは(sin(t),-cos(t))なのです。

式の見た目では表示の仕方が違って見えますが、これらの円は完全に重なります。
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この回答へのお礼

ありがとう。tは時刻のつもりです。costの微分は-sintひととおりと記憶していますが どの点でも逆方向に接線の方向ベクトルを考えるとcosの符号が同符号でsinの方が-がつくのが疑問なんですが

お礼日時:2009/05/28 22:36

ほう!


その P(cos t, sin t) の t が、媒介変数ではないとでも?

No.4 に書いたように、
接ベクトルの向きは、↑OP を
変数 t によって微分するか、-t によって微分するかで、
逆転する。
反対向きのは、(d/dt) cos t じゃなく、
(d/ds) cos t なんだよ。
後のほうの式は、d/ds の s と cos t の t が、
異なる文字であることに注意。
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そうか! 「下方に伸びるとすれば」ってのは、


(x, y) = (cos(-s), sin(-s)) と媒介変数表示するって意味か。
そこまで空気読めって?

その場合も、異なる文字(媒介変数)を混同しないことが大切。
(x, y) = (cos t, sin t) = (cos(-s), sin(-s)) と置くならば、
(d/dt)(x, y) = (-sin t, cos t),
(d/ds)(x, y) = (d/ds)(cos s, -sin s) = (-sin s, -cos s) = (sin t, -cos t).

(-sin t, cos t) と (-sin s, -cos s) は、媒介変数が違っているので、
直接には比べられない。文字を t に揃えてから比較すれば、
(-sin t, cos t) と (sin t, -cos t) は、片方ではなく、両方の成分の
符号が変わっている。これは、接ベクトル全体に -1 を掛けたことに当たる。
-1 は dt/ds であって、合成関数の微分則に由来している。

この回答への補足

媒介変数はまったく関係ない。円上の点P(cost,sint)
とするとPでの接線の方向ベクトルはOPに対して垂直に上方と下方の2とおりあり、上方への方向ベクトルはたしかに(-sint,cost)になるが下方へのベクトルは(sint,-cost)になるのではという意味、するとcostの微分が-sintに限らないのではという疑問

補足日時:2009/05/29 08:51
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単位円を (x, y) = (cos u, sin u) と媒介変数表示すれば、


接ベクトルは (d/du)(x, y) = (-sin u, cos u) で、
単位円を (x, y) = (cos (v+π), sin (v+π)) と媒介変数表示すれば、
接ベクトルは (d/dv)(x, y) = (sin v, -cos v) となる。

u の替わりに文字 t を使おうが、
v の替わりに文字 t を使おうが、自由だが、
u, v 両方を t と書くことは、許されない。

(x, y) = (cos u, sin u) = (-cos v, -sin v) だから、
(cos t, sin t) = (-cos t, -sin t) と置いたことになってしまう。
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この回答へのお礼

ありがとう。tは時刻のつもりです。別に角度でxでもθでもいいのですが微分は接線の傾きを表しているから単位円で考えると上方に接線の方向ベクトルを考えるとcosはたしかに-sinになるが下方に方向ベクトルを考えるとsinが-cosになりcosはsinになるような気がしますが。それが疑問になっています

お礼日時:2009/05/28 22:48

点(cos(t),sin(t))から点(cos(t+dt),sin(t+dt))に向かう方向に接ベクトルは向かいます。

下方に伸びると考えるのはtの方向と逆ですね。
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この回答へのお礼

なるほど 進行方向へということですが tは時刻のつもりです。ありがとう

お礼日時:2009/05/28 22:27

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偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
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(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
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その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q{-(k+2)(cost)^(k+1)(-sint)+k(cost)^(k-1)(-sint)}

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こんばんわ。

「微分可能」ということの定義は大丈夫ですよね?
極限として求めた場合に、左極限(h→-0)と右極限(h→+0)の値が一致することです。

ですので、
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ただ、それ以外の点では微分可能です。
ですから、

>ここで、単純に|cosx|や|sinx|を微分せよ
>と出題された場合は微分できないと言う回答でOKでしょうか?
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>を用いて4r(1-cos2t)とすると、

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 2r(1-cos2t)
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4r*sin^2t = r

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2r(1-cos2t) = 2r
4r*sin^2t = 2r

t=パイ/3 で 
2r(1-cos2t) = 3r
4r*sin^2t = 3r

t=パイ/2 で 
2r(1-cos2t) = 4r
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まず、内容の確認ですが、以下のとおりでいいですか?

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何故
位置を微分したら速度で
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Aベストアンサー

ご質問の内容から察するに、質問者さんは高校1年生くらいでしょうか。

まず、「微分」の意味を考えて見ましょう。微分は「変化の割合」を意味します。グラフで言えば「傾き」が変化の割合ですね。

つづいて、「位置」について考えましょう。物理学では、物体の運動(=時間の経過と位置の変化)を表すために物体の「位置」を時間と関連付けて、例えば x(t) のように時間の関数で表記します。

位置を時間の関数として x(t) で表現した場合、時間変化に対する位置の変化の割合を物理的に考えると、これが速度に相当します。(速度=単位時間当たりの位置の変化、ですから。) これが、「位置を微分したら速度になる」理由です。

さらに、速度と時間の関係を v(t) で表現した場合、時間変化に対する速度の変化を物理的に考えると、加速度を意味します。(加速度=単位時間当たりの速度変化、ですから。) これが、「速度を微分すると加速度になる」理由です。

まとめますと、
○ 微分の数学的な意味合いは、「変化の割合」である。
○ 時間変化に対する位置の「変化の割合(=微分)」は速度である。
○ 時間変化に対する速度の「変化の割合(=微分)」は加速度である。

という説明で納得していただけましたでしょうか?

ご質問の内容から察するに、質問者さんは高校1年生くらいでしょうか。

まず、「微分」の意味を考えて見ましょう。微分は「変化の割合」を意味します。グラフで言えば「傾き」が変化の割合ですね。

つづいて、「位置」について考えましょう。物理学では、物体の運動(=時間の経過と位置の変化)を表すために物体の「位置」を時間と関連付けて、例えば x(t) のように時間の関数で表記します。

位置を時間の関数として x(t) で表現した場合、時間変化に対する位置の変化の割合を物理的に考えると、これが...続きを読む

Qz=(sint)×(cost+isint) =1/2 {sin2t +i(1-cos2t)} (iは

z=(sint)×(cost+isint)
=1/2 {sin2t +i(1-cos2t)}
(iは虚数単位)

を実軸、虚軸、z軸の3次元グラフで描け

という問題があるんですけど、そもそもこれって可能ですか?

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実数列{an}は、単調増加で上に有界であるものとする。この{an}の上限をαで表す。したがって、

・任意の自然数nに対してan ≦ αが成り立ち、
・任意の自然数eに対してaN > α-e となる自然数Nが存在する。

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(2)数列{an}は、an = 1 - 1/n であれば単調増加で上に有界となることを示せ。
(3)設問(2)で与えた数列{an}の極限値αを求めよ。このαに対し、n > N のときに|an-α| < 0.001を満たす最小の自然数Nを計算せよ。

この問題の解説をどなたかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

・任意の自然数nに対してan ≦ αが成り立ち、
・任意の自然数eに対してaN>α-e となる自然数Nが存在する。
はαが{an}の上限である事の必要条件だけれども十分条件ではありません。
例)
an=(1/2)-(1/n)
α=1
とすると
任意の自然数eに対して
e≧1
e-(1/2)≧1/2>0
N>2≧1/{e-(1/2)}となる
自然数Nが存在する。
e-(1/2)>1/N
aN=(1/2)-(1/N)>1-e となる
自然数Nが存在する。
an=(1/2)-(1/n)の上限(最小上界)は1/2だから
1はan=(1/2)-(1/n)の上限(最小上界)でない

・任意の自然数nに対してan ≦ αが成り立ち、
・任意の正実数e>0に対してaN > α-e となる自然数Nが存在する。
がαが{an}の上限である事の必要十分条件です。

(1)
数列{an}の極限値はαであるとき
任意の整数eに対し、n > Nのときには|an-α| < e となる自然数Nが存在しません
e=-1のとき常に|an-α|>-1=eとなるから「任意の整数e」は誤りです。

任意の正実数e>0に対し、n > Nのときには|an-α| < e となる自然数Nが存在すること
が数列{an}の極限値はαであることの定義です。

αが{an}の上限だから
任意の正実数e>0に対してaN>α-eとなる自然数Nが存在する。
n>Nのときには{an}が単調増加だからan>aN
α-e<aN<an≦α
α-e<an≦α
α-an<e,0≦α-an
0≦α-an<e

|an-α|=α-an<e

(2)
自然数n,mに対して
n<mのとき両辺をmnで割ると
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両辺に1-1/n-1/mを加えると
1-1/n<1-1/m<1
an<am<1
1は{an}の上界

{an}は単調増加で上に有界

(3)
任意の正実数e>0に対して
N>1/eとなる自然数Nが存在する
n>Nとなる任意の自然数nに対して
|an-1|=|1-1/n-1|=1/n<1/N<e
だから

α=lim_{n→∞}an=1

e=0.001とすると
N≧1/e=1/0.001=1000
N≧1000
n>N=1000
|an-1|=|1-1/n-1|=1/n<1/N=0.001
だから
N=1000

・任意の自然数nに対してan ≦ αが成り立ち、
・任意の自然数eに対してaN>α-e となる自然数Nが存在する。
はαが{an}の上限である事の必要条件だけれども十分条件ではありません。
例)
an=(1/2)-(1/n)
α=1
とすると
任意の自然数eに対して
e≧1
e-(1/2)≧1/2>0
N>2≧1/{e-(1/2)}となる
自然数Nが存在する。
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aN=(1/2)-(1/N)>1-e となる
自然数Nが存在する。
an=(1/2)-(1/n)の上限(最小上界)は1/2だから
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Aベストアンサー

#1のものです。

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これは間違いないです。

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たとえば方向としては(1,1)の指すものと(2,2)の指すものは同じです。
また、直線の方向は180度違うものも許容されるため(1,1)と(-1,-1)も同じ方向とみなせます。

今回の場合、(t*sint,t*cost)はt*(sint,cost)とも表せます。上に書いた通り、定数倍tで割っても方向としては同じなので(sint,cost)としてもよいのです。

また、方向ベクトルの大きさを"1"にしておくと扱いやすい(そのような方向ベクトルを単位方向ベクトルと呼びます)ので、方向ベクトルをその大きさであらかじめ割っておくと便利です。
|(t*sint,t*cost)|=|t|*√{(sint)^2+(cost)^2}=|t|
であり、|t|で割っておくことはそれなりに合理性があります。


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