costの微分は (-sint)でsintの微分はcostですね。
ところで円上の点(cost,sint)の接線の方向ベクトルは
点が第1象限で考えると上方なら、たしかに (-sint,cost)ですが下方に伸びるとすれば(sint,-cost)になると思うのですが、これはどう理解したらよかったのか、ふと今疑問に思うのですが

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A 回答 (5件)

半径1の円をパラメーター表示しようとすれば、


  (x,y) = (cos(t),sin(t))   (0≦t≦2π)
と書くことが出来ます。
これで考えれば、接線の方向ベクトルは(-sin(t),cos(t))です。

また同じく半径1の円をパラメーター表示する方法には
  (x,y) = (-cos(t),-sin(t))   (0≦t≦2π)
という書き方もあるのです、
これで考えれば、接線の方向ベクトルは(sin(t),-cos(t))なのです。

式の見た目では表示の仕方が違って見えますが、これらの円は完全に重なります。
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この回答へのお礼

ありがとう。tは時刻のつもりです。costの微分は-sintひととおりと記憶していますが どの点でも逆方向に接線の方向ベクトルを考えるとcosの符号が同符号でsinの方が-がつくのが疑問なんですが

お礼日時:2009/05/28 22:36

ほう!


その P(cos t, sin t) の t が、媒介変数ではないとでも?

No.4 に書いたように、
接ベクトルの向きは、↑OP を
変数 t によって微分するか、-t によって微分するかで、
逆転する。
反対向きのは、(d/dt) cos t じゃなく、
(d/ds) cos t なんだよ。
後のほうの式は、d/ds の s と cos t の t が、
異なる文字であることに注意。
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そうか! 「下方に伸びるとすれば」ってのは、


(x, y) = (cos(-s), sin(-s)) と媒介変数表示するって意味か。
そこまで空気読めって?

その場合も、異なる文字(媒介変数)を混同しないことが大切。
(x, y) = (cos t, sin t) = (cos(-s), sin(-s)) と置くならば、
(d/dt)(x, y) = (-sin t, cos t),
(d/ds)(x, y) = (d/ds)(cos s, -sin s) = (-sin s, -cos s) = (sin t, -cos t).

(-sin t, cos t) と (-sin s, -cos s) は、媒介変数が違っているので、
直接には比べられない。文字を t に揃えてから比較すれば、
(-sin t, cos t) と (sin t, -cos t) は、片方ではなく、両方の成分の
符号が変わっている。これは、接ベクトル全体に -1 を掛けたことに当たる。
-1 は dt/ds であって、合成関数の微分則に由来している。

この回答への補足

媒介変数はまったく関係ない。円上の点P(cost,sint)
とするとPでの接線の方向ベクトルはOPに対して垂直に上方と下方の2とおりあり、上方への方向ベクトルはたしかに(-sint,cost)になるが下方へのベクトルは(sint,-cost)になるのではという意味、するとcostの微分が-sintに限らないのではという疑問

補足日時:2009/05/29 08:51
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単位円を (x, y) = (cos u, sin u) と媒介変数表示すれば、


接ベクトルは (d/du)(x, y) = (-sin u, cos u) で、
単位円を (x, y) = (cos (v+π), sin (v+π)) と媒介変数表示すれば、
接ベクトルは (d/dv)(x, y) = (sin v, -cos v) となる。

u の替わりに文字 t を使おうが、
v の替わりに文字 t を使おうが、自由だが、
u, v 両方を t と書くことは、許されない。

(x, y) = (cos u, sin u) = (-cos v, -sin v) だから、
(cos t, sin t) = (-cos t, -sin t) と置いたことになってしまう。
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この回答へのお礼

ありがとう。tは時刻のつもりです。別に角度でxでもθでもいいのですが微分は接線の傾きを表しているから単位円で考えると上方に接線の方向ベクトルを考えるとcosはたしかに-sinになるが下方に方向ベクトルを考えるとsinが-cosになりcosはsinになるような気がしますが。それが疑問になっています

お礼日時:2009/05/28 22:48

点(cos(t),sin(t))から点(cos(t+dt),sin(t+dt))に向かう方向に接ベクトルは向かいます。

下方に伸びると考えるのはtの方向と逆ですね。
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この回答へのお礼

なるほど 進行方向へということですが tは時刻のつもりです。ありがとう

お礼日時:2009/05/28 22:27

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 ~~~~~~~~~~~~~~

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を解いたと思いますが・・・、

(→a)=k(→b)
となる実数k(≠0)が存在すれば、
2つのベクトル (→a) と (→b) は平行ですね?

なので、
(dx/dt, dy/dt)=(tsint, tcost)=t(sint, cost)
と変形すると、これから、
(dx/dt, dy/dt) // (sint, cost)
がいえます。


・法線の式でkとはどこからきたのか
 ~~~~~~~~~~~~~~~~

(dx/dt, dy/dt) つまり (sint, cost) に垂直なベクトルは、
(-cost, sint) ・・・・・・ ①
ですね?

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(x, y)=(sint-tcost, cost+tsint)=(sint, cost)+t(-cost, sint) ・・・・・・ ②
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   ~~~~~

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 ~~~~~~~~~~~~~~

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(x, y)=(sint, cost)
この点が、原点Oから下した垂線の足になります。

・(dx/dt, dy/dt) // (sint, cost) 
 ~~~~~~~~~~~~~~

(1) で、dx/dt=tsint、dy/dt=tcost
を解いたと思いますが・・・、

(→a)=k(→b)
となる実数k(≠0)が存在すれば、
2つのベクトル (→a) と (→b) は平行ですね?

なので、
(dx/dt, dy/dt)=(tsint, tcost)=t(sint, cost)
と変形すると、これから、
(dx/dt, dy/dt) // (sint, cost)
がいえます。


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 ~~~~~~~~~~~~~~~~

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