ベルヌーイ方程式に関する教科書の例題を解いていて、答えが合わなくて困っています。


x(dy/dx)+1/3y=x/y^5

をベルヌーイの方程式

(dy/dx)+p(x)y=q(x)y^n


p(x)=1/(3x)
q(x)=1
n=-5

として解いていくと

u=y^6とおく
1/6(du/dx)+u/(3x)=1
(du/dx)+2u/x=6
と変形できますよね?

ここまでは教科書に載っていて、問題なかったんですがここから同次方程式の解を導くのに

同次方程式
(du/dx)+2u/x=0
の一般解は
∫(du/u)=-∫(2/x)dx
u=Aexp(-logx^2) A:積分定数
ここでAをxの関数として定義すると
(dA/dx)exp(-logx^2)-2Aexp(logx)+2Aexp(logx)-6=0
dA/dx=6x^2
∫dA/dx=∫6x^2dx
A=-3/x+B

・・・

となって思考停止になってしまいました。

解答はu=2x+A/x^2となっているのですが、なぜこうなるのでしょうか。
初歩的な質問で申し訳ありませんが、お答え頂けるとありがたいです。

よろしくおねがいします。

A 回答 (1件)

>u=Aexp(-logx^2) A:積分定数


より
u=A/x^2
後は定数変化法で
dA/dx=6x^2
A=2x^3
uの特別解は
u=2x^3/x^2=2x

QED

この回答への補足

返事が遅れてしまい、申し訳ありません。
ご回答ありがとうございます。

回答の内容は理解したのですが、それだとu=2x+A/x^2となる理由がわかりません。
何度も申し訳ないのですが、もしお時間がありましたらご回答お願いします。

補足日時:2009/06/02 15:45
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この回答へのお礼

すいません。
今、式変形していったところ、補足に書いた内容は理解できました。

ご回答ありがとうございました。

お礼日時:2009/06/02 15:54

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