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三次方程式 x^3-3x^2-kx+4が、異なる三つの実数解を持つように、定数kの値の範囲を定めよ。

という問題ですが、今まで異なる2つまでしかやっていないので、全くわかりません。

やり方を教えて下さいm(_ _)m

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A 回答 (5件)

間違った解答をしている人がいるので、指摘しておく。



3次方程式:f(x)=0が、異なる3つの実数解を持つには
(1) f´(x)=0 が異なる2つの解を持つ → 判別式>0
(2) f(x)で(極大値)*(極小値)<0

(1)と(2)が同時に成立しなければならない。

この方法でも解ける。方針を示しておく。
f´(x)=0の2つの解をα、βとすると 判別式>0、and、f(α)*f(β)<0. 但し、解と係数から、α+β=2、αβ=-k/3.
f(α)*f(β)<0 を計算するには、次数を下げてその上で α+β=2、αβ=-k/3 を使うんだが、この方法は計算が面倒だから勧めない。
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解と係数を使う方法もあるが、orthodoxには微分だね。


但し、少し機転が必要。

x^3-3x^2+4=kx と変形する。
y=x^3-3x^2+4 のグラフと、y=kx のグラフが異なる3つの交点を持つと良い。
y=x^3-3x^2+4 のグラフは書けるだろうし、y=kx は原点を通る傾きがkの直線であるから、条件を満たすには?

但し、x≠0から、x^2-3x+(4/x)=k として、同じくグラフで考えても良いが、問題は x^2-3x+(4/x)のグラフを書けるかどうか?
書けるなら、その方法が一番楽だろう。
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f(x)=x^3-3x^2-kx+4とおき,y=f(x)のグラフを考えて見ましょう。



3次関数のグラフは(x^3の係数>0とする)は次の二通りが考えられます。

1.全ての区間で単調増加する。
2.x<x0では単調増加、x0<x<x1では単調減少、x1<xでは単調増加

2.のパターンではグラフは一度波を打ったような形になります。

f(x)=0の異なる実数解の数とは、y=f(x)とy=0(x軸)の交点の個数にほかなりません。
y=f(x)のグラフがx軸と3点で交わるためにはグラフの形は1,2のいずれで無ければならないでしょうか。
2.のように一度波打たないと3点で交わることがないことがわかります。
その上で、その波の一番高いところ(極大値)がx軸よりも上で、一番低いところ(極小値)がx軸よりも下でなければならないことがわかります。)

では、この極大・極小となる座標はどのように得るのか?
それは微分係数が"0"となるところ探せばよいことになります。

微分係数が0になるxの値が2個あることが必要、さらにその上でその極値に上記の条件が必要になります。
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与式の微分したものが極大極小をもたなければ3つの実数解になりません。


つまり微分したものが2つの実数解を持てばいいわけです。

さらに極小のときの与式のy座標がマイナスでないといけないので
極小のときのx座標を与式に代入し、それがマイナスになるようにします。

その結果がkの範囲となります。
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> 三次方程式 x^3-3x^2-kx+4が、異なる三つの実数解を持つように、定数kの値の範囲を定めよ。



方程式の右辺は何でしょうか?

この回答への補足

=0でした。
書き忘れすみません。

補足日時:2009/07/04 00:05
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