二次方程式をみたす整数の組（ｘ、ｙ）

「ｘ＾２＋５ｘ－４ｙ＾２－２ｙ＋２＝０をみたす整数（ｘ、ｙ）はを求めよ。」

以下のように自分なりに解いてみたのですが・・・・

因数分解をして、整理すると
（ｘ＋２ｙ＋３）（ｘ－２ｙ＋２）＝４

下記のように、連立方程式にして解くと・・・
　ｘ＋２ｙ＋３＝１
　ｘ－２ｙ＋２＝４
よって、（０、－１）
ただ、解答用紙をみると、あともう一つ、答えがあるようなのですが、
それが解けません＞＿＜
どうしても分数になって・・・
（ｘ、ｙ）＝（アイ、ウエ）

No.3 ベストアンサー 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/11/02 16:07

＞（ｘ＋２ｙ＋３）（ｘ－２ｙ＋２）＝４

xとyは自然数ではなく単なる整数だから、（x＋2y＋3、x-2y＋2）＝（4、1）、（1、4）、（2、2）、（-2、-2）（-1、-4）、（-4、-1）、の6通りある。
その6通りを全て検証するのは賢明ではない。
x＋2y＋3とx-2y＋2の和を考えると、2x＋5＝○　になるから、2xは偶数から、＋5が奇数より、○は（正負を問わず）奇数値でなければならない。‥‥(1)
よって、（x＋2y＋3、x-2y＋2）＝（4、1）、（1、4）、（-1、-4）、（-4、-1）、の4通りのみ。

（注）
xとyが自然数ならば、x＋2y＋3＞x-2y＋2で、x＋2y＋3＞0より、x-2y＋2＞0であるから、（x＋2y＋3、x-2y＋2）＝（4、1）のみ、と簡単なんだが。。。。。ｗ

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/11/02 14:58

＞（ｘ＋２ｙ＋３）（ｘ－２ｙ＋２）＝４

ここから先ですね。

「かけて４となる２つの数は？」とした場合、何とおりのパターンがありますか？
１×４＝４だけではないですね。
その「何とおり」かの中から題意を満たすもの（整数となるもの）が答えになります。

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2009/11/02 14:55

掛け算して 4 になる整数の組み合わせをすべて挙げて補足にどうぞ。