ゴールドバッハ-オイラーの定理、累乗数引く1の逆数の総和は1

http://en.wikipedia.org/wiki/Goldbach%E2%80%93Eu …
を参照してください。

1を除く自然数の2乗、3乗、4乗、…を考えます。
4,9,16,25,…
8,27,64,125,…
16,81,256,625,…
…
それらを累乗数と呼び、その和集合を考えます。
P={4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, …}

このとき、
Σ[p∈P]1/(p-1)=1
が成り立つことは、ゴールドバッハ-オイラーの定理と呼ばれるそうですが、その証明がわかりません。どうか教えていただけないでしょうか?

No.2 ベストアンサー 回答者： f272 回答日時： 2009/12/10 23:17

> どう正当化するのでしょうか?

ちゃんと書いてあるやん。
H[n]=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...+1/n
として，変形していけば
H[n]-1-1/2-1/4-1/5-1/6-1/7-...-1/n=1-(1/(2^k2*1)+1/(3^k3*2)+...+1/(n(n-1)))
になって，引き算すれば
1-(1/(2^k2*1)+1/(3^k3*2)+...+1/(n(n-1)))=1/3+1/7+1/8+1/15+1/24+1/26+...+1/n
で
1/(2^k2*1)+1/(3^k3*2)+...+1/(n(n-1))<=H[n-1]/√n
H[n-1]/√n→0 (n→∞)
を使えば
1=1/3+1/7+1/8+1/15+1/24+1/26+...

この回答へのお礼

ありがとうございます。
当方が注意深く読んでいなかったことを反省いたします。

お礼日時：2009/12/23 00:32

No.1 回答者： f272 回答日時： 2009/12/10 13:30

そのページのReferencesの中に

On a series of Goldbach and Euler
へのリンクがあるので，それを読んだらどうかな。証明が書いてあるよ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
x=1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …
と置いて、形式的に式変形していく方法は理解できたのですが、
普通は、発散級数を
x=1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …
のようには置けないので、そのへんの正当化がわかりません。
どう正当化するのでしょうか?

お礼日時：2009/12/10 22:30