No.2
- 回答日時:
単項イデアル整域(PID)=一意分解整域(UFD)
という主張は誤りです。
No.1の方の回答に片側の証明があるので、こちらでは逆の反例を。
一般にUFD係数の多項式環はまたUFDとなります。
なので整数環Zを係数にする一変数多項式環Z[X]はUFDです。
(整数環Zはユークリッド整域→PID→UFD)
ですが、Z[X]の中で、2とXで生成されるイデアルは単項イデアルではないです。
よってZ[X]はPIDではありません。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>単項イデアル整域と一意分解整域がイコールの関係である
どんな文献なんでしょうか?
「単項イデアル整域が一意分解整域であること」は成立しますが、「一意分解整域が単項イデアル整域であること」は一般に成立しないはずです。
その文献に書かれているのがウソか、もしくはあなたがその文献を読み違えているかのどちらかですね。
そうそう、下記のサイトに「単項イデアル整域が一意分解整域であること」の証明があります。
http://subsite.icu.ac.jp/people/hsuzuki/science/ …
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