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さっそくですが、質問させて頂きます。
2つの不等式、
X^2-10X-24>0・・・(1)
X^2-(a^2-a-1)X-a^2+a<0・・・(2)
を同時に満たすXが存在しないようなaの値の範囲を求めよ。
[03阪南大学]

と言う問題ですが、
まず、(1)について、因数分解して(X+2)(X-12)>0より
X<-2、12<X・・・(1)’
(2)については{X-a(a-1)}(X+1)<0で、
a(a-1)<X<-1もしくは-1<X<a(a-1)・・・(2)’

(1)’(2)’より-2≦a(a-1)≦12であればよいので、
ⅰ)a(a-1)≦12のときこれを解いて
(a+3)(a-4)≦0より、-3≦a≦4
ⅱ)-2≦a(a-1)のとき、
a^2-a+2=(a-1/2)^+7/4よりすべてのaについて成り立つ
よって、-3≦a≦4・・・(答)
となっています。

そこで私の質問はⅱ)の場合で、
「a^2-a+2=(a-1/2)^+7/4≧0よりすべてのaについて成り立つ」の意味が分かりません。
「すべてのaについて成り立つ」ということは、同時に成り立つXが存在しないという意味なのか。それとも、別の意味があるのか、全く分かりません。

分かる方教えて頂けないでしょうか?
よろしくお願い致します。

gooドクター

A 回答 (4件)

-2≦a(a-1)


が成り立つとき、上式を変形すると
a^2-a+2=(a-1/2)^2+7/4≧0
となります。       ↑が抜けてます

この式は、実数aがどのような値をとっても成り立ちます。
このことは全ての実数aに対して(a-1/2)^2≧0が成り立つので明らかです。

それで、
ⅰ)の場合は、-3≦a≦4で成り立つ
ⅱ)の場合は、全ての実数で成り立つ
というそれぞれの場合についての積集合をとり、答えが-3≦a≦4となっています。
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この回答へのお礼

すばやい回答有難う御座いました。

納得できましたーー!!!。

お礼日時:2010/01/12 22:16

文脈を補って多少丁寧に書くとこんな感じでしょうね。



---

以下のaについての不等式

(a - 1/2)^2 + 7/4 > 0

全てのaについては成り立つ。したがって、これを変形した

-2 < a(a - 1)

もまた全てのaについて成り立つ。
したがって、aの値をどのように変化させても(全てのaについて)、xについての不等式(2)を満たす範囲の下限は -2 以下であることはない。
つまり、この範囲で不等式(1)(2)が同時に満たされることはない。
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この回答へのお礼

すばやい回答有難う御座いました。

納得できましたーー!!!。
(ポイントですが、順番に付けさせて頂きますので、ご了承願います)

お礼日時:2010/01/12 22:21

-2≦a(a-1)≦12 の不等式において、


左の不等式、-2≦a(a-1) を満たすaはすべての実数に
なる、という意味です。
だから、a(a-1)≦12の解、-3≦a≦4と
-2≦a(a-1)の解、aはすべての実数、
を合わせて、最終的な解 -3≦a≦4 が決まります。

>すべてのaについて成り立つ
というのは、「a^2-a+2≧0」は「すべてのaについて成り立つ」
ということです。途中に式の変形が挟まっているから主語がわかり
にくくなっているのかもしれません。
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この回答へのお礼

すばやい回答有難う御座いました。

納得できましたーー!!!。
(ポイントですが、順番に付けさせて頂きましたで、ご了承願います)

お礼日時:2010/01/12 22:19

すべてのaについて


-2≦a(a-1)
が成り立つよ、ということです。

同時に成り立つようなXが存在しないためには、
-3≦a≦4
も満たしていないといけないのですよね?

なので答えは、
「すべてのa」かつ「-3≦a≦4」→「-3≦a≦4」
となります。

こんな感じでいかがでしょう?
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この回答へのお礼

すばやい回答有難う御座いました。

納得できましたーー!!!。
(ポイントですが、順番に付けさせて頂きますので、ご了承願います)

お礼日時:2010/01/12 22:18

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