余角の公式sin((π/2)-x) = cos(x)を計算で証明する方

余角の公式sin((π/2)-x) = cos(x)を計算で証明する方法はありますか
加法定理無しで。

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2010/01/20 16:15

複素平面の単位円を利用して

x座標とy座標とできる直角三角形の辺の比と
直角三角形におけるsin,cosの定義を使って証明すれば
良いでしょう。

参考：単位円による三角関数の定義
http://www.asp.c.dendai.ac.jp/courses/basic/apdx …
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92% …

参考URL：http://www.asp.c.dendai.ac.jp/courses/basic/apdx …

この回答への補足

図で 0 <= θ <= 90 の時は成り立つとわかったのですが
それ以外の場合のときの証明をお願いします。

補足日時：2010/01/20 17:30

No.2 回答者： BookerL 回答日時： 2010/01/20 14:44

　加法定理を使わないのであれば、オイラーの公式

　ｅ^iθ ＝ cosθ ＋ ｉ･sinθ

を使うと、どうでしょう。

ｅ^i(π/2 － ｘ) ＝ ｅ^iπ/2 ･ ｅ^-ix　　より

左辺 ＝ cos(π/2 － ｘ) ＋ ｉsin(π/2 － ｘ)

右辺 ＝ ｛ cos(π/2) ＋ ｉsin(π/2) ｝･｛ cos(-x) ＋ ｉ･sin(-x) ｝
　　 ＝ ｉ･｛ cos(x) － ｉ･sin(x) ｝
　　 ＝ ｉ･cos(x) ＋ sin(x)

左辺 ＝ 右辺 なので、実数部分を比較して　cos(π/2 － ｘ) ＝ sin(x)

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2010/01/20 19:20

No.1 回答者： alice_38 回答日時： 2010/01/20 14:20

この手の基本的な公式を、

きちんと証明になるように示すには、
そこに登場する用語の定義を
確認/統一しておくことが重要です。

三角関数の定義のしかたには
実に様々なバリエーションがあり、
定義が違えば、証明すべき内容は変わります。

貴方にとっての、sin, cos の定義は？